Рівняння Бернуллі

Диференціальним рівнянням Бернуллі називається рівняння виду

(1.54)

де неперервні при функції і - дійсне число.

Вважаємо, що і , бо при (1.54) буде лінійним неоднорідним рівнянням типу (1.45), а при рівняння (1.54) буде рівнянням з відокремлюваними змінними.

Для інтегрування рівняння (1.54) будемо використовувати метод Бернуллі - Фур’є. Розв’язок рівняння шукаємо у вигляді (1.48), підставляємо в рівняння (1.54), маємо

,

.

Коефіцієнт при у лівій частині рівняння прирівнюємо до нуля і одержуємо систему рівнянь:

звідси

(1.55)

Систему (1.55) завжди починаємо інтегрувати з першого рівняння. Воно завжди є диференціальним рівнянням з відокремлюваними змінними. Знаходимо функцію та підставляємо у друге рівняння і знаходимо А тоді, враховуючи (1.48), записуємо загальний розв’язок рівняння (1.54).

Приклад 9

Розв’язати задачу Коші

,

Як відомо, розв’язати задачу Коші – значить знайти частинний розв'язок диференціального рівняння, який задовольняє початкову умову.

Спочатку інтегруємо диференціальне рівняння. Для знаходження загального розв’язку рівняння Бернуллі будемо застосовувати метод Бернуллі –Фур’є

Тоді

Коефіцієнт при прирівнюємо до нуля та приходимо до системи (1.55):

Систему починаємо інтегрувати з першого рівняння, яке є диференціальним рівнянням з відокремлюваними змінними. Знаходимо функцію :

.

Підставляючи знайдене значення у друге рівняння системи, маємо:

.

Одержали диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними. За умови :

,

це диференціальне рівняння з відокремленими змінними.

Інтегруємо його

Загальний розв’язок вихідного диференціального рівняння

,

тобто

.

Щоб розв’язати задачу Коші, залишається задовольнити початкову умову.

Сталу знаходимо із умови тобто

.

Звідси .

Отже, розв’язком задачі Коші є

Рівняння в повних диференціалах

Диференціальним рівнянням в повних диференціалах називається рівняння

, (1.56)

якщо і – неперервні функції за обома своїми аргументами, в деякій області площини , мають неперервні частинні похідні відповідно за і за виконується умова

(1.57)

в цій області.

Рівняння в повних диференціалах завжди має розв’язок. Його загальний інтеграл знаходять за однією із формул:

(1.58)

або

. (1.59)

У формулах (1.58), (1.59) довільні сталі. Їх вибирають із області визначення так, щоб інтеграли мали найпростіший вигляд.

Приклад 10

Знайти загальний інтеграл диференціального рівняння

.

У цьому рівнянні функції – визначені і неперервні на всій площини .

Перевіримо, чи виконується умова (1.57):

.

Маємо при довільних . Отже, це рівняння в повних диференціалах. Для знаходження загального інтегралу використаємо формулу (1.58). Причому тут зручно взяти :

Замінимо і одержимо загальний інтеграл вихідного диференціального рівняння

.

§ 2 ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ВИЩИХ ПОРЯДКІВ