Зводить (1.38) до однорідного диференціального рівняння першого порядку

. (1.42)

Інтегруємо його та повертаємося до змінних .

Якщо ж

, (1.43)

то заміна зводить (1.38) до рівняння

, . (1.44)

Рівняння (1.44) це диференціальне рівняння типу (1.18) і, як відомо, заміною

зводиться до рівняння з відокремлюваними змінними.

Приклад 7

Знайти загальний розв’язок (загальний інтеграл) диференціального рівняння

.

За умови маємо

. (*)

Це диференціальне рівняння типу (1.38). Обчислюємо

.

Отже, потрібна заміна(1.40) за умови (1.41), тобто

Знаходимо розв’язок даної системи .

Таким чином:

(**)

Рівняння (*) при заміні змінних (**) має вигляд

. (***)

Отримали однорідне рівняння першого порядку. Потрібна заміна змінної:

.

Підставляємо в рівняння (***):

Це вже рівняння з відокремлюваними змінними. Розділяючи змінні приходимо до диференціального рівняння з відокремленими змінними:

за умови маємо

.

Інтегруємо його:

Потенціюємо рівність:

Отже, , або . Повертаючись до змінної , маємо:

,

де .

Враховуючи заміну (**), маємо

– загальний інтеграл рівняння (*), тобто вихідного диференціального рівняння.

Лінійні рівняння

Лінійним неоднорідним диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння виду

, (1.45)

де - неперервні функції при і .

Якщо , то рівняння (1.45) називається лінійним однорідним рівнянням:

. (1.46)

Рівняння (1.46) можна розглядати і як рівняння з відокремлюваними змінними

.

Звідси , за умови .

Тоді

,

,

(1.47)

де – довільна стала.

(1.47) – загальний розв’язок рівняння (1.46).

Якщо , то для знаходження загального розв’язку рівняння (1.45) використаємо метод Бернуллі - Фур’є. Розв’язок шукатимемо у вигляді добутку двох невідомих функцій:

. (1.48)

Оскільки (1.48) є розв’язком (1.45), то за означенням підстановка (1.48) в диференціальне рівняння повинна перетворювати його в тотожність. Знаходимо

. (1.49)

Підставимо (1.48), (1.49) в (1.45):

Прирівнюємо коефіцієнт при до нуля, отримаємо систему двох рівнянь:

(1.50)

Систему (1.50) завжди починаємо інтегрувати з першого рівняння (воно завжди є рівнянням з відокремлюваними змінними):

, ,

, ,

. (1.51)

Значення (1.51) для підставляємо в друге рівняння системи (1.50). Маємо

.

Це теж рівняння з відокремлюваними змінними

. (1.52)

Тепер (1.51) і (1.52) підставимо в (1.48). Маємо

. (1.53)

(1.53) – це загальний розв’язок рівняння (1.45).

Приклад 8

Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння

, за умови .

Це лінійне неоднорідне диференціальне рівняння першого порядку. Його розв’язок, згідно методу Бернуллі – Фур’є, будемо шукати у вигляді (1.48):

.

Підставляємо в рівняння, маємо:

Інтегрування розпочинаємо з першого рівняння системи, яке є диференціальним рівнянням з відокремлюваними змінними:

.

Підставляємо у друге рівняння системи:

,

,

Тоді

,

або

– загальний розв’язок вихідного диференціаьлного рівняння.