Називається однорідним першого порядку, якщо є однорідною функцією нульового виміру

Тобто рівність (1.25) виконується при :

.

Оскільки – довільне дійсне, то візьмемо за умови . Тоді

. (1.27)

Підставляємо (1.27) в (1.26):

. (1.28)

Це рівняння заміною змінних

(1.29)

завжди зводиться до рівняння з відокремлюваними змінними відносно нової функції .

Підставляємо (1.29) в (1.28):

; . (1.30)

Це диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними.
За умови одержуємо рівняння з відокремленими змінними

.

Інтегруємо його:

. (1.31)

Позначимо

. (1.32)

Потенціюємо (1.31) з урахуванням (1.32)

. (1.33)

(1.33) – загальний інтеграл диференціального рівняння (1.30).

Повертаючись до вихідної змінної одержимо

(1.34)

загальний інтеграл диференціального рівняння (1.26) ((1.28)).

Окремо необхідно розглянути випадок

,

тобто

(1.35)

на предмет існування особливих розв’язків.

Приклад 5

Знайти загальний розв’язок (загальний інтеграл) диференціального рівняння

.

Запишемо рівняння у стандартному вигляді (1.28):

.

Це однорідне диференціальне рівняння першого порядку.

Тому, виконуючи заміну (1.29), маємо:

– диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними.

Звідси, розділяючи змінні, маємо:

диференціальне рівняння з відокремленими змінними.

Інтегруємо його:

.

Повертаємось до вихідної змінної:

– загальний інтеграл вихідного диференціального рівняння.

Однорідним диференціальним рівнянням першого порядку називається також рівняння виду

, (1.36)

якщо функції і – однорідні функції одного виміру. Тобто такі, що для будь–якого дійсного справедливі рівності

. (1.37)

Для того щоб проінтегрувати рівняння (1.36), виконують заміну . Така заміна однорідне рівняння завжди зводить до рівняння з відокремлюваними змінними.

Приклад 6

Знайти загальний розв’язок (загальний інтеграл) диференціального рівняння

.

, .

Розглянемо

,

для .

Оскільки умови (1.37) виконані, то ми маємо справу з однорідним рівнянням. Тут краще вважати функцією змінної . Тоді за умови :

Тепер видно, що потрібна заміна . Підставляємо в рівняння

,

– це диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними.

Розділяємо змінні:

, за умови .

Інтегруємо одержане диференціальне рівняння з відокремленими змінними:

,

де =const інтегрування.

.

Повертаємось до вихідної змінної

Отже, – загальний розв’язок вихідного рівняння.

Диференціальне рівняння

, (1.38)

при однорідне першого порядку. Якщо ж , відмінні від нуля, то при

(1.39)

заміна змінних

(1.40)

де - нові змінні, а числа є розв’язками системи

(1.41)