Функция распределения непрерывной случайной величины. Плотность распределения вероятностей и ее свойства

Функция распределения непрерывной случайной величины.

Теорема (эквивалентное определение непрерывной случайной величины). Случайная величина X является непрерывной тогда и только тогда, когда ее функция распределения непрерывна.

Закон распределения непрерывной случайной величины, также как и дискретной, может быть задан с помощью функции распределения: с помощью этой функции мы можем вычислить вероятность попадания значений случайной величины в заданный полуинтервал: (1)

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет отдельно взятое значение равна 0. Следствие: для непрерывной случайной величины вероятность

.

Замечание: из теоремы следует, что нулевой вероятностью может обладать и возможное событие . В этом нет противоречия.

Плотность распределения вероятностей и ее свойства.

Используя только функцию распределения F(x), трудно судить о характере распределения в небольшой окрестности точки числовой оси. Решить эту задачу позволяет плотность распределения вероятностей (диффер. функция распределения).

Определение: плотностью распределения вероятностей случайной величины X или диффер. функцией распределения называется первая производная функции распределения .

График плотности распределения называется кривой распределения случайной величины X. .

Элемент вероятности: .

Cвойства плотности распределения.

1.

Доказательство: =F’(x) и F(x) - неубывающая функция

2.

3. свойство нормировки.

4. Выражение функции распределения через плотность: