Билинейное преобразование

Новая переменная ρ связана с переменной z простыми соотношениями:

Можно показать, что окружность единичного радиуса плоскости z, соответствующая изменению переменной Лапласа s в плоскости s вдоль мнимой оси в пределах основной полосы, т. е. отображается в плоскости ρ во всю мнимую ось.

Проанализировав эту функцию при изменении частоты ω в указанном выше диапазоне, убеждаемся в правильности этого утверждения.

Величину называют псевдочастотой, обозначают υ:

Рис.10. 13. Связь плоскостей переменных s, z и ρ

Внутренняя часть круга единичного радиуса в плоскости z, которая является областью устойчивости, при применении билинейного преобразования отображается в плоскости ρ во всю левую полуплоскость. Внешняя часть круга единичного радиуса в плоскости z, область неустойчивости, отображается при этом в плоскости ρ в правую полуплоскость. Таким образом, применяя билинейное преобразование, получили для дискретной системы условие устойчивости, аналогичное условию устойчивости непрерывных систем:

Это, в свою очередь, позволяет применять критерии устойчивости, сформулированные для непрерывных систем.