Передаточные функции дискретных систем

Передаточную функцию разомкнутой дискретной системы W_p(z) вычисляют по математическому описанию непрерывной части. Первоначально получим W_p(z) для упрощенного варианта системы – без учета формирователя.

Тогда разомкнутую систему можно представить в виде:

E(z)

Y(z)

y(t)

ε(t)

Рис.10.11. Структурная схема разомкнутой импульсной системы

Поскольку на вход непрерывной части поступает последовательность дельта-импульсов, то удобнее всего определять передаточную функцию разомкнутой дискретной системы, если непрерывная часть задана весовой функцией w_нч(t). В этом случае W_p(z)= может быть представлена таким образом:

W_p(z)=Z{ w_нч(iT₀) }

Алгоритм вычисления W_p(z) сводится к двум этапам: переход от непрерывной функции w_нч(t) к функции квантованной w_нч(iT₀) заменой t на iT₀ и вычисления по соответствующе формуле Z-преобразования w_нч(iT₀). В случае, если непрерывная часть задана передаточной функцией W_нч(s)= , можно воспользоваться формулой, полученной на основании теоремы разложения:

,

где n – порядок непрерывной части (порядок характеристического многочлена Q_нч(s));

s_k – корни Q_нч(s);

|s=s_k;

z_k =e^skT0

Для вычисления передаточной функции W_p(z) с учетом формирователя необходимо учесть его передаточную функцию. Расчетная структура в этом случае выглядит следующим образом:

Рис.10. 12. Расчетная структура дискретной системы

;

Передаточную функцию можно рассчитать следующим образом:

Здесь появился (n+1)-й корень многочлена, стоящего в знаменателе W_ПНЧ(s), равный нулю.

В результате всех вычислений и упрощений W_p(z) приводится к дробно-рациональной функции вида . Порядок характеристического многочлена всегда совпадает с порядком характеристического многочлена непрерывной части, т. е. введение формирователя не увеличивает порядок системы.