Критерий устойчивости Найквиста

Критерий устойчивости Найквиста позволяет оценить устойчивость только замкнутой системы по частотной характеристике системы разомкнутой.

Для обоснования этого критерия воспользуемся вспомогательным вектором . Соотношение этих векторов на комплексной плоскости представлено на рисунке.

7.8. Соотношение векторов и

Здесь - характеристический многочлен разомкнутой системы. Обозначим количество правых корней этого многочлена , тогда число левых корней .

- характеристический многочлен замкнутой системы. Если обозначить количество правых корней этого многочлена , тогда оставшиеся - левые.

Воспользуемся принципом аргумента. При изменении частоты от 0 до

Отсюда можно определить количество правых корней :

.

Для устойчивой замкнутой системы . Тогда .

Тогда критерий устойчивости Найквиста можно сформулировать следующим образом: Для устойчивой замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф АФХ разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до охватывал точку в положительном направлении раз, где - количество правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

Для анализа устойчивости системы, устойчивой в разомкнутом состоянии, можно воспользоваться упрощенной формулировкой: если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф АФХ разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до не охватывал точку .

Если имеет нулевой корень кратности (имеет астатизм -го порядка), то прежде чем применять критерий Найквиста необходимо дополнить годограф АФХ при дугой бесконечно большого радиуса, содержащей , считая от нового начала до годографа.

Это связано с тем, что нулевые корни относят к левой полуплоскости.

Пример:

;

Построим график АФХ, рассчитав характерные точки.

ω

Замкнутая система неустойчива. Характеристический многочлен имеет два правых корня.