Понятие устойчивости

Очень важно изучить поведение системы во времени. В некоторых случаях процессы оказываются расходящимися, что свидетельствует о неустойчивости системы.

Для нормальной эксплуатации система должна быть устойчивой, т.е. после действия возмущения она должна возвращаться в состояние равновесия.

В качестве примера рассмотрим поведение шарика на вогнутой поверхности (желоб), выпуклой поверхности и плоской поверхности.

Устойчивая система (вогнутая поверхность), процесс сходится:

Рисунок 7.3

Неустойчивая система (выпуклая поверхность), процесс расходится:

Рисунок 7.4

Нейтральная система (горизонтальная поверхность), координата (процесс) остается постоянной.

Рисунок 7.5

Эти примеры являются механической аналогией понятия устойчивости. Рассмотрим математическое определение понятия устойчивости.

Рисунок 7.6

Система описывается дифференциальным уравнением:

– решение дифференциального уравнения.

– однородное уравнение определяет свободную составляющую решения .

– корни характеристического уравнения.

– частное решение неоднородного дифференциального уравнения, определяется видом внешней функции;

– постоянные коэффициенты, определяются из начальных условий и полного (общего) решения.

Строго устойчивость определяется в смысле Ляпунова. Для линейных систем с постоянными параметрами считается, что система устойчива, если предел свободной составляющей равен 0

.

Устойчивость - внутреннее свойство системы, присущее ей вне зависимости от действующих на нее сигналов, поэтому рассматривается только свободная составляющая.

Это есть определение асимптотической устойчивости.

Свяжем требование устойчивости с расположением корней характеристического уравнения:

,

- корни, i=1,2,…,n,

вещественные обозначим ,

комплексные – .

Рассмотрим свободные составляющие соответствующие различным корням.

1. Корень вещественный, положительный:

2. Корень вещественный, отрицательный:

+j

3. Корни комплексные, сопряженные, с положительной вещественной частью:

система неустойчива

4. Корни комплексные, сопряженные, с отрицательной вещественной частью:

yсв

+j

система устойчива.

Условием устойчивости является расположение корней характеристического уравнения в левой полуплоскости.

Система на границе устойчивости, если корни на мнимой оси.

Устойчивость – необходимое условие функционирования системы, поэтому в курсе уделяется много внимания методам оценки устойчивости системы.