Свойства корневого годографа

Рассмотрим свойства корневого годографа, позволяющие упростить его построение.

1. Непрерывность и симметричность корневого годографа:

· непрерывность вытекает из теоремы о том, что корни уравнения - это непрерывная функция его коэффициентов;

· у полинома с вещественными коэффициентами могут быть комплексно-сопряженные корни, симметричные относительно реальной оси.

2. Число ветвей корневого годографа равно порядку системы.

3. Начало и окончание корневого годографа.

Ветви корневого годографа начинаются в полюсах разомкнутой системы, m ветвей заканчивается в нулях разомкнутой системы, остальные (n-m) ветвей корневого годографа уходят в бесконечность.

Начало: Уравнение (8.1) при K = 0 принимает вид

,

Годограф начинается в полюсах разомкнутой системы.

Окончание: при K стремящемся к бесконечности выражение (8.1) представим в виде

m ветвей заканчивается в нулях разомкнутой системы, оставшиеся n-m ветвей уходят в бесконечность (это следует из того, что в характеристическом уравнении можно оставить только высшие степени):

(8.5)

(n-m) корней будут в бесконечности.

4. Наклоны асимптот, уходящих в бесконечность.

Из (8.4) следует

5. Точка пересечения асимптот с вещественной осью - h.

Она находится из рассмотрения уравнения (8.1) с учетом высшей и предшествующей ей степеней s.

(из теоремы Виета)

.

6. Углы выхода корневого годографа из полюсов разомкнутой системы.

Вновь рассмотрим уравнение (8.1)

,

которое можно записать как неявную функцию от s и K: F(K, s) = 0.

Угол выхода есть аргумент производной от годографа в точке выхода корневого годографа из выбранного полюса p_i^*

.

По правилу дифференцированных неявных функций:

;

7. Углы входа корневого годографа в нули разомкнутой системы.

В уравнении (8.1) вынесем K за скобки и введем обозначение :

При , а уравнение (8.1) будет иметь вид:

(8.6)

Уравнение (8.6) можно записать как неявную функцию от s и : F(,s) = 0.

Угол входа есть аргумент производной от годографа в точке входа корневого годографа в выбранный нуль z_i^*

;

поэтому .

8. Значение коэффициента передачи K на корневом годографе.

Обозначим точку на корневом годографе, тогда при соответствующем K – удовлетворяют уравнению

9. Участки вещественной оси, принадлежащие корневому годографу.

При K > 0 корневому годографу принадлежат участки вещественной оси, лежащие левее нечетного числа полюсов (p_i, z_i); при K < 0 – участки, лежащие левее четного числа полюсов и нулей (p_i, z_i), лежащих на вещественной оси.

Доказательство:

;

p_i и z_i полюсы и нули на вещественной оси, комплексные полюсы и нули не влияют на принадлежность корневому годографу

.

а) K > 0, для того чтобы сохранился знак минус, нужно присутствие нечетного числа множителей ;

б) при K < 0 годографу принадлежат участки левее четного числа нулей и полюсов.

10. Правило углов представляет развернутое выражение для уравнения фаз.

11. Правило для определения точки отхода корневого годографа от вещественной оси.

Рассмотрим на примере:

Рисунок 8. 2. Фрагмент корневого годографа для определения точки пересечения вещественной оси

Используется правило углов:

.

Рассматриваются малые приращения этих углов, т.е. дифференциалы:

Далее для малых углов приращения можно выразить через отношение катетов, а для малых углов .

Для рисунка получим

.

Из данного выражения находим -координаты кратного полюса на вещественной оси.