Примеры. 15.16. Вычислить повторный интеграл

15.16. Вычислить повторный интеграл .

Решение. .

15. 17. Вычислить двойной интеграл по прямоугольной области — , .

Решение. Применяя формулу (15.3), получим

.

15.18. Вычислить двойной интеграл по области , ограниченной линиями , , .

Решение. На рис. 15.6 изображена область . Она расположена между

$$15.6 $$15.7

прямыми , , а также между линиями и . Применяя формулу (15.5), получим

.

15.19. Вычислить двойной интеграл по области , ограниченной линиями , , .

Решение. На рис. 15.7 изображена область . Она расположена между

прямыми , , а также между линиями и . Применяя формулу (15.5), получим

.

15.20. Вычислить двойной интеграл по области , ограниченной линиями , , .

Решение. На рис. 15.8 изображена область интегрирования — треугольник . Она не является элементарной областью. Разобьем область прямой на две элементарные области и (область на рис. 15.8 показана черным цветом). Из свойства 3 двойных интегралов следует равенство . Вычислим эти интегралы.

$$15.8

.

.

Отсюда следует, что . ●

Задачи

Вычислить повторные интегралы:

15.64. . 15.65. . 15.66. . 15.67. .

15.68. .

Вычислить двойные интегралы по области , ограниченной линиями:

15.69. , .

15.70. , .

15.71. , .

15.72. , .

15.73. , .

15.74. , .

15.75. , , неотрицательные части осей и .

15.76. , .

15.77. , .

15.78. , .

Ответы

15.64. 5. 15.65. . 15.66. . 15.67. . 15.68. . 15.69. . 15.70. . 15.71. . 15.72. . 15.73. . 15.74. . 15.75. . 15.76. . 15.77. 2. 15.78. . ▲