![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Свойства несобственных интегралов будут cформулированы и доказаны для несобственных интегралов с бесконечным верхним пределом.
1. Если — первообразная функции
на множестве
, то справедлива формула
Доказательство. Применяя формулу Ньютона-Лейбница, имеем
.
2. Интеграл сходится тогда и только тогда, когда для
любого числа сходится интеграл
, причем справедлива формула
.
Доказательство. Используя свойство аддитивности определенного интеграла, имеем следующую цепочку равенств
.
Отсюда следует, что
существует тогда и только тогда, когда для любого числа
существует предел
, т.е.интеграл
сходится тогда и только тогда, когда сходится интеграл
. Второе утверждение свойства вытекает из импликации
.
3. Из сходимости интегралов и
следует, что сходится интеграл
и справедлива формула
.
Доказательство.
.
4. Если функция неотрицательна и интегрируема на промежутке
, то
и
.
Доказательство. Так как функция при любом
, то
. Теперь из второго свойства несобственных интегралов и неравенства
следует импликация
.
5. Если интеграл сходится, то при любом выборе точки
справедлива формула .
Доказательство. Из свойства 2, сходимости интегралов и
вытекает сходимость интегралов
и
. Теперь имеем
. ■
Аналогичные свойства справедливы и для других несобственных интегралов 1-го рода.
Геометрический смысл несобственного интеграла 1-го рода от неотрицательной функции — это площадь бесконечной фигуры, ограниченной сверху графиком функции , снизу — осью
, слева прямой
(рис. 15.1) или справа прямой
; в случае интеграла, у которого оба предела бесконечны — это площадь бесконечной фигуры, ограниченной сверху графиком функции
, снизу — осью
.
$$ 15.1
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 307 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!