Простейшие свойства несобственных интегралов 1-го рода

Свойства несобственных интегралов будут cформулированы и доказаны для несобственных интегралов с бесконечным верхним пределом.

1. Если — первообразная функции на множестве , то справедлива формула

Доказательство. Применяя формулу Ньютона-Лейбница, имеем

.

2. Интеграл сходится тогда и только тогда, когда для

любого числа сходится интеграл , причем справедлива формула

.

Доказательство. Используя свойство аддитивности определенного интеграла, имеем следующую цепочку равенств

.

Отсюда следует, что существует тогда и только тогда, когда для любого числа существует предел , т.е.интеграл сходится тогда и только тогда, когда сходится интеграл . Второе утверждение свойства вытекает из импликации

.

3. Из сходимости интегралов и следует, что сходится интеграл и справедлива формула

.

Доказательство.

.

4. Если функция неотрицательна и интегрируема на промежутке , то и .

Доказательство. Так как функция при любом

, то . Теперь из второго свойства несобственных интегралов и неравенства следует импликация

.

5. Если интеграл сходится, то при любом выборе точки

справедлива формула .

Доказательство. Из свойства 2, сходимости интегралов и вытекает сходимость интегралов и . Теперь имеем

. ■

Аналогичные свойства справедливы и для других несобственных интегралов 1-го рода.

Геометрический смысл несобственного интеграла 1-го рода от неотрицательной функции — это площадь бесконечной фигуры, ограниченной сверху графиком функции , снизу — осью , слева прямой (рис. 15.1) или справа прямой ; в случае интеграла, у которого оба предела бесконечны — это площадь бесконечной фигуры, ограниченной сверху графиком функции , снизу — осью .

$$ 15.1