Теорема о пределе суперпозиции

Теорема. Пусть функция определена на множестве , – точка сгущения множества и существует предел (1)

Пусть, кроме того, функция определена на множестве , – точка сгущения множества и существует предел . (2)

Тогда, если , (3) то на множестве имеет смысл суперпозиция и существует предел . (4)

Замечание 1. Равенство (4) с учетом определения суперпозиции функций можно записать так: .

Таким образом, теорема 1 указывает условия, при выполнении которых под знаком предела справа в этом равенстве можно сделать замену переменной по правилу , при этом зная этот предел, мы знаем и предел, стоящий слева в этом равенстве.

Замечание 2. Если – область значений функции и либо , либо эта функция является строго монотонной, то условие (3) теоремы 1 заведомо выполняется. На практике именно проверка условия (3) является "камнем преткновения" для использования этой теоремы.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем произвольную окрестность точки . Тогда, в силу равенства (2), найдется окрестность точки такая, что (5). В свою очередь, в силу равенства (1), для окрестности точки найдется такая окрестность точки , что , а так как и по условию , то отсюда следует, что (6)

Из включений (5) и (6) следует, что .

Таким образом, для произвольно выбранной окрестности точки нашлась такая окрестность точки , что . По определению предела это и означает, что имеет место равенство (4) □