Локальные свойства функций имеющих предел

Определение 1. Пусть функция определена на множестве и – некоторое его подмножество (). Говорят, что функция ограничена (соотв., ограничена сверху или снизу) на множестве , если его образ есть ограниченное (соотв., ограниченное сверху или снизу) множество.

Теорема 1 (о локальной ограниченности). Пустьфункция определена на множестве и - точка сгущения этого множества. Тогда если существует предел , то существует такая окрестность точки , что функция ограничена на множестве . Ниже знак числа обозначается через .

Теорема 2 (о стабилизации знака). Пустьфункция определена на множестве и - точка сгущения этого множества. Тогда если существует отличный от нуля предел , то в некоторой проколотой окрестности точки функция имеет тот же знак, что и этот предел: точнее, существует такая окрестность точки , что