Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса об ограниченной последовательности

Пусть – произвольная числовая последовательность, – возрастающая последовательность натуральных чисел. Тогда последовательность , , , называется подпоследовательностью последовательности и обычно обозначается или, короче, .

Теорема 1. Всякая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится и имеет тот же предел, что и исходная последовательность.

Теорема 2 (Больцано-Вейерштрасса). Всякая ограниченная последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Так как последовательность ограничена, то она имеет хотя бы одну предельную точку x. В таком случае из этой последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к точке x.

Замечание 1. Из любой ограниченной последовательности можно выделить монотонную подпоследовательность.

В самом деле, в силу теоремы Больцано-Вейерштрасса из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность, а из этой подпоследовательности можно выделить монотонную подпоследовательность.

Замечание 2. Пусть {x_n} - ограниченная последовательность, элементы которой находятся в сегменте [a, b]. Тогда предел с любой сходящейся подпоследовательности также находится на сегменте [a, b].

Действительно, так как , то в силу следствия 2 выполняются неравенства a ≤ c ≤ b. Это и означает, что c находится на сегменте [a, b].

Отметим, что в отдельных случаях и из неограниченной последовательности также можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Например, последовательность 1, 1/2, 2, 1/3,..., n, 1/(n+1),... неограниченная, однако подпоследовательность 1/2, 1/3,..., 1/n,... ее элементов с четными номерами сходится. Но не из каждой неограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Например, любая подпоследовательность неограниченной последовательности 1, 2,..., n,... расходится. Поэтому теорему Больцано-Вейерштрасса, вообще говоря, нельзя распространить на неограниченные последовательности.