Критерий Коши существования предела функции

Теорема (критерий Коши). Пусть функция определена на множестве и (конечная или бесконечная) точка сгущения этого множества. Для того, чтобы существовал предел (1)

необходимо и достаточно, чтобы существовала такая окрестность точки , что для любых . (2)

Замечание 1. Если в этой теореме , то в терминах неравенств теорема может быть сформулирована следующим образом: Пусть функция определена на множестве и точка – точка сгущения этого множества. Для того, чтобы существовал предел ( 1’)

необходимо и достаточно, чтобы существовало такое , что . (2’) для любых таких, что .