Лемма о вложенных отрезках

Лемма. Для любой последовательности вложенных отрезков , (), их пересечение не пусто.

Более того, если длины этих отрезков стремятся к нулю , то это пересечение состоит из одной точки.

Доказательство. Из определения о вложенных отрезках.

, что для любого , следовательно, существует

, что для любого , и существует

Так как мы доказываем единственность точки, следовательно, пределы последовательностей в этой точке и равны. Из этого следует,

Как нам известно , а , то

Что и требовалось доказать.