Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

Последовательность называется бесконечно малой (б.м.), если .

Замечание 1. Очевидно, что если , то , (т.е. - б. м. последовательность)при этом .

Наоборот, если имеет место это равенство и - б. м. последовательность, то .

Таким образом, последовательность имеет предел тогда и только тогда, когда она равна сумме постоянной и бесконечно малой последовательностей.

Теорема 1. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.

Определение 2. Если для любого вещественного числа E $ N: x_n > E " n > N (соотв., x_n < E " n > N), то говорят, что последовательность имеет своим пределом , и пишут или .

Определение 3. Последовательность такую, что , называют бесконечно большой и пишут (символ ¥ употребляется без знака).

Теорема 2. Если последовательность - бесконечно большая и то - бесконечно малая последовательность.

Теорема 3. Если - бесконечно малая последовательность и при n = 1,2,…, то последовательность -бесконечно большая.

Замечание 2. Последовательности, имеющие своим пределом +¥ или -¥ мы не относим к сходящимся, то есть они считаются расходящимися. Таким образом, можно сказать, что сходящиеся последовательности – это такие последовательности, которые имеют конечный предел.

Замечание 3. Последовательности, имеющие пределы +¥ или -¥, очевидно, являются бесконечно большими. Однако не всякая бесконечно большая последовательность имеет предел равный +¥ или -¥. Например, последовательность очевидно является бесконечно большой (), но она не имеет ни конечного, ни какого-то бесконечного (±¥) предела.