Производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков

Пусть функция y = f (x) дифференцируема на некотором отрезке [ a, b ]. Значения производной f'(x) зависят от х, т.е. производная f'(x) тоже представляет собой некоторую функцию от х. Дифференцируя эту функцию, мы получаем производную от производной.

О. Производная от первой производной называется производной второго порядка или второй производной. Обозначается

y''=(f'(x))'= f''(x). (4.5)

Физический смысл второй производной: вторая производная f''(x) равна скорости изменения скорости, т.е. ускорению движущейся точки в момент времени х.

Вторая производная также может быть функцией, определенной на некотором множестве. Если эта функция имеет производную, то эта производная называется третьей производной функции f(x) и обозначается f'''(x).

О. Если определена (n -1) -я производная f ^{(n -1 )} (x) и существует её произ­водная, то она называется n-й производной функции f(x):

f ^{( n )} (x) = (f ^{( n -1 )} (x))'. (4.6)

Все производные, начиная со второй, называются производными высших порядков.

Функцию, имеющую на данном множестве конечную производную порядка n, называют n раз дифференцируемой на данном множестве.

Дифференциал функции y = f (x) выражается в виде dy = f'(x) dx. Тогда, если он является некоторой функцией от х, то справедливо следующее:

Дифференциал от дифференциала функции называется дифференциалом второго порядка или вторым дифференциалом:

d ² y = f''(x) dx ² . (4.7)

О. Дифференциал от дифференциала n -го порядка называется дифференциалом (n +1)-го порядка.

Пример. Найти дифференциал функции y = cosx.

Найдем f'(x)=- sinx. Тогда по формуле (4.4): dy =- sinxdx.

Пример. Найти дифференциал второго порядка функции y = ln ⁴ x ² .

Найдем вторую производную от функции:

Пример. Найти дифференциал функции y = x^tgx.

Найдем f'(x). Для этого прологарифмируем обе части равенства:

lny=lnx^tgx по свойству логарифма получаем lny=tgx? lnx. Продифференцируем обе части: