Элементарные функции. Среди множества функциональных зависимостей особое место занимают элементарные функции

Среди множества функциональных зависимостей особое место занимают элементарные функции.

Основные элементарные функции:

1. Постоянная y = c, c = const R.
2. Степенная y = xn, n R /{0}, D (f) зависит от n.
3. Показательная у = ax, a > 0, a 1, D (f) = (–¥,+¥), E (f) = (0,– ¥).
4. Логарифмическая y = log ax, a > 0, a 1, D (f) = (0,+ ¥), E (f) = (–¥,+¥).
5. Тригонометрические y = sin x, y = cos x, D (f) = (–¥,+¥) E (f) = [–1,+1].
y = tg x, D (f) = R \{ /2 + k }, k = 1, 2,..., E (f) = (–¥,+¥).
y = ctg x, D (f) = R \{ k }, k = 1, 2,..., E (f) = (–¥,+¥).
6. Обратные тригонометрические y = arcsin x, D (f) = [–1, +1], главное значение y [– /2, /2].
y = arccos x, D (f) = [–1, +1], главное значение y [0, ].
y = arctg x, D (f) = (–¥, +¥), главное значение y (– /2, /2).
y = arcctg x, D (f) = (–¥, +¥), главное значение y (0, ).

Определение. Функция называется сложной, если в качестве её аргумента используется другая функция.

Выражение y = f [ gf (x)] называется сложной функцией (суперпозицией), y = f (u) – внешней функцией, u = g (x) – внутренней функцией, u – называется сложным аргументом, х – независимым аргументом.

Пример. y = 3lg(1+ x ²) или y = 3lg(u), где u = 1 + x ² – сложный аргумент.

Определение. Элементарными называются функции, записанные одной формулой и составленные из основных элементарных функций с помощью 4-х арифметических действий и операции суперпозиции.

29. Числовые последовательности

Пример. Парадокс Зенона. Ахилл догоняет черепаху. Последовательность расстояний от Ахилла до черепахи

1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16,..., 1/2 ⁿ,...

это числовая последовательность и её элемент а_n = 1/2 ⁿ с ростом n делается сколь угодно малым, но 0 так и не достигает. Черепаха является пределом устремлений Ахилла и, соответственно, 0 есть предел для элемента а_n при
n или lim а_n = 0.

Определение. Бесконечной числовой последовательностью называется последовательность значений функции f (x) (определенной на всей числовой оси) при целочисленных значениях аргумента. Обозначения: u_n = f (n), где
n = 1, 2, 3,... или u ₁, u ₂, u₃,..., u_n...

Пример. Если f (x) = 2 ^x, то имеем 2, 4, 8,..., если f (x) = 1/2 ^x, то имеем 1/2, 1/4, 1/8, 1/16,...

Определение. Пределом числовой последовательности (ч.п.) а_n называется число а, такое что с ростом n разность между числом и членом последовательности становится меньше любого наперед заданного числа, тогда а = lim а_n.

Пусть > 0, тогда имеется такое N, что для n > N выполняется неравенство | а_n – a | < . Оно означает, что, начиная с некоторого N (), члены последовательности находятся в -окрестности точки а, т.е.

| a _n – a | > _|| a _n – a | < .. __________|_____|_____|_______.

1 2 3 N () a – a a +

Все ч.п. а_n делятся на два типа: сходящиеся, если имеется конечный предел и расходящиеся, если нет. Факт существования предела следует из факта существования пограничного N ().

Пример. lim(3 n + 1)/(2 n – 1) = 3/2 при n . Определим N () при
= 0,1.

|3/2 – а_n | = |3/2 – (3 n + 1)/(2 n – 1)| = 5/(4 n + 2) < n > (2 + 5)/4 N () = (2 + 5)/4 .

Ответ. При n > 13 разность между пределом 3/2 и а_n меньше 0,1.

Числовая последовательность с нулевым пределом называется последовательностью бесконечно малых, а процесс прохождения по её элементам называется предельным процессом.

Соединим точки графика первого примера непрерывной линией и введем предельный процесс для непрерывно изменяющейся величины.

Определение. Величина х называется бесконечно малой величиной (б.м.в.), если она стремится к нулю, делается меньше любого наперед заданного числа, но 0 так и не достигает. Процесс изменения б.м.в. называется предельным процессом.

Обозначения б.м.в.: х 0 или lim x = 0. Пределом б.м.в. является число 0, к которому оно подходит на сколь угодно близкое расстояние.

Предельный процесс можно организовать не только при подходе к 0, но и к любой точке а. Тогда б.м.в. является разность (х – а), т.е. lim(x – a) = 0 или lim x = a (x a). Величина х в данном процессе имеет предел а, или стремится к а.

Предельный процесс носит точечный характер и является инструментом для локального изучения изменений переменной величины любого типа в окрестности любой её точки. Поэтому базовым типом переменной величины, который позволяет исследовать все остальные типы переменных величин, является б.м.в., участвующие в предельном процессе. Второе название математического анализа – “Исчисление бесконечно малых”.

30. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определение. Функция y = (x) называется бесконечно малой при
х а, если lim (x) = 0. Функция y = f (x) называется бесконечно большой при х а (lim f (x) = ), если становится больше любого наперед заданного числа или, если для любого числа М > 0 существует такое число , зависящее только от М, что из неравенства 0 < | x – a | < следует неравенство | f (x)| > M.

Теорема. Функция обратная к бесконечно малой является бесконечно большой и наоборот.

Действительно, если бесконечно малая функция (х) при х а оказывается в знаменателе дроби, то дробь неограниченно возрастает и становится бесконечно большой функцией 1/ (х) при х а.