![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Среди множества функциональных зависимостей особое место занимают элементарные функции.
Основные элементарные функции:
1. Постоянная y = c, c = const R. | ![]() |
2. Степенная y = xn, n ![]() | |
3. Показательная у = ax, a > 0, a ![]() | ![]() |
4. Логарифмическая y = log ax, a > 0, a ![]() | ![]() |
5. Тригонометрические y = sin x, y = cos x, D (f) = (–¥,+¥) E (f) = [–1,+1]. | ![]() ![]() ![]() |
y = tg x, D (f) = R \{ ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() |
y = ctg x, D (f) = R \{ k ![]() ![]() ![]() | ![]() |
6. Обратные тригонометрические
y = arcsin x, D (f) = [–1, +1],
главное значение y ![]() ![]() ![]() | ![]() |
y = arccos x, D (f) = [–1, +1],
главное значение y ![]() ![]() | ![]() |
y = arctg x, D (f) = (–¥, +¥),
главное значение y ![]() ![]() ![]() | ![]() |
y = arcctg x, D (f) = (–¥, +¥),
главное значение y ![]() ![]() | ![]() |
Определение. Функция называется сложной, если в качестве её аргумента используется другая функция.
Выражение y = f [ gf (x)] называется сложной функцией (суперпозицией), y = f (u) – внешней функцией, u = g (x) – внутренней функцией, u – называется сложным аргументом, х – независимым аргументом.
Пример. y = 3lg(1+ x 2) или y = 3lg(u), где u = 1 + x 2 – сложный аргумент.
Определение. Элементарными называются функции, записанные одной формулой и составленные из основных элементарных функций с помощью 4-х арифметических действий и операции суперпозиции.
29. Числовые последовательности
Пример. Парадокс Зенона. Ахилл догоняет черепаху. Последовательность расстояний от Ахилла до черепахи
1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16,..., 1/2 n,...
это числовая последовательность и её элемент аn = 1/2 n с ростом n делается сколь угодно малым, но 0 так и не достигает. Черепаха является пределом устремлений Ахилла и, соответственно, 0 есть предел для элемента аn при
n или lim аn = 0.
Определение. Бесконечной числовой последовательностью называется последовательность значений функции f (x) (определенной на всей числовой оси) при целочисленных значениях аргумента. Обозначения: un = f (n), где
n = 1, 2, 3,... или u 1, u 2, u3,..., un...
Пример. Если f (x) = 2 x, то имеем 2, 4, 8,..., если f (x) = 1/2 x, то имеем 1/2, 1/4, 1/8, 1/16,...
Определение. Пределом числовой последовательности (ч.п.) аn называется число а, такое что с ростом n разность между числом и членом последовательности становится меньше любого наперед заданного числа, тогда а = lim аn.
Пусть > 0, тогда имеется такое N, что для n > N выполняется неравенство | аn – a | <
. Оно означает, что, начиная с некоторого N (
), члены последовательности находятся в
-окрестности точки а, т.е.
| a n – a | > || a n – a | <
.. _________|____|____|_______.
1 2 3 N () a –
a a +
Все ч.п. аn делятся на два типа: сходящиеся, если имеется конечный предел и расходящиеся, если нет. Факт существования предела следует из факта существования пограничного N ().
Пример. lim(3 n + 1)/(2 n – 1) = 3/2 при n . Определим N (
) при
= 0,1.
|3/2 – аn | = |3/2 – (3 n + 1)/(2 n – 1)| = 5/(4 n + 2) <
n > (2
+ 5)/4
N (
) = (2
+ 5)/4
.
Ответ. При n > 13 разность между пределом 3/2 и аn меньше 0,1.
Числовая последовательность с нулевым пределом называется последовательностью бесконечно малых, а процесс прохождения по её элементам называется предельным процессом.
Соединим точки графика первого примера непрерывной линией и введем предельный процесс для непрерывно изменяющейся величины.
Определение. Величина х называется бесконечно малой величиной (б.м.в.), если она стремится к нулю, делается меньше любого наперед заданного числа, но 0 так и не достигает. Процесс изменения б.м.в. называется предельным процессом.
Обозначения б.м.в.: х 0 или lim x = 0. Пределом б.м.в. является число 0, к которому оно подходит на сколь угодно близкое расстояние.
Предельный процесс можно организовать не только при подходе к 0, но и к любой точке а. Тогда б.м.в. является разность (х – а), т.е. lim(x – a) = 0 или lim x = a (x a). Величина х в данном процессе имеет предел а, или стремится к а.
Предельный процесс носит точечный характер и является инструментом для локального изучения изменений переменной величины любого типа в окрестности любой её точки. Поэтому базовым типом переменной величины, который позволяет исследовать все остальные типы переменных величин, является б.м.в., участвующие в предельном процессе. Второе название математического анализа – “Исчисление бесконечно малых”.
30. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Определение. Функция y = (x) называется бесконечно малой при
х а, если lim
(x) = 0. Функция y = f (x) называется бесконечно большой при х
а (lim f (x) =
), если становится больше любого наперед заданного числа или, если для любого числа М > 0 существует такое число
, зависящее только от М, что из неравенства 0 < | x – a | <
следует неравенство | f (x)| > M.
Теорема. Функция обратная к бесконечно малой является бесконечно большой и наоборот.
Действительно, если бесконечно малая функция (х) при х
а оказывается в знаменателе дроби, то дробь неограниченно возрастает и становится бесконечно большой функцией 1/
(х) при х
а.
Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 238 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!