Общие свойства функций

Определение. Переменная у называется функцией переменной х, если каждому допустимому значению х соответствует определенное значение у.

Основные способы задания функций:

1. Табличный способ: .

2. Аналитический способ: y = f (x), y = x ² (формула показывает, какие алгебраические действия надо совершить над х, чтобы получить соответствующее значение у).

3. Графический способ:

Определение. Функция имеет явную форму y = f (x), если зависимая переменная стоит слева в 1-ой степени и неявную форму, если х и у связаны более сложным образом.

Пример. у = х ², у ² + х ² = R ².

Обратная функция. Если идет процесс, связывающий несколько переменных, то выбор независимой переменной среди них может меняться.

Пример. Закон Ома имеет три равноправных формы: I = U / R, U = I × R, R = U / I.

Определение. Обратная функция х = f ^–1(у) получается из прямой функции y = f (x), если в качестве аргумента взять у. Если y = f (x) устанавливает взаимно-однозначное соответствие между X = D (f) и Y = E (f), то х = f ^–1(у) выражает то же соответствие, причем Y = D (f ^–1), X = E (f ^–1).

Для перехода к обратной функции надо так преобразовать прямую функцию, чтобы аргумент х стоял слева в 1-ой степени.

Пример. .

Определение. Функция называется четной, если смена знака аргумента не меняет значения функции f (– x) = f (x) и нечетной, если смена знака аргумента меняет общий знак функции f (– x) = – f (x).

Пример. у = х ² и у = х ³.

Любую функцию можно представить как сумму четной и нечетной функций. График четной функции симметричен относительно оси Оу, а нечетной – антисимметричен.

Определение. Функция называется периодической, если при изменении аргумента на постоянную величину значение функции не меняется f (x + T) = f (x). Наименьшее значение Т называется периодом.

Пример. sin(x + 2 ) = sin(x). Период Т = 2 , полный поворот радиус-вектора.