Метод Гаусса. Записываем расширенную матрицу: . Будем предполагать, что базовый минор в левом верхнем углу

Записываем расширенную матрицу: . Будем предполагать, что базовый минор в левом верхнем углу. Тогда строки A с (r + 1) ^ой по m -ую явл. линейной комбинацией первых r ее строк.

Если , то - базовый минор и , поэтому и строки , начиная с (r + 1) ^ой, будут лин. комб. первых r строк.

В этом случае строки, начиная с (r + 1) ^ой можно вычеркнуть. В результате получим новую СУ, эквивалентную исходной.

x_r+1 … x_n - свободные неизвестные, x₁ … x_r – базисные неизвестные. Если в качестве x_r+1 … x_n выбрать любые числа и подставить их в систему, то мы получим квадратную систему уравнений с ненулевым определителем. Поэтому эта система будет иметь единственное решение.

Если в качестве свободных неизвестных выбирать последовательно следующие наборы:

и находить в каждом случае соответствующие значения неизвестных x₁, …, x_r, то полученный набор из n – r решений называется нормальной фундаментальной системой решений (НФСР).

Если в качестве наборов значений свободных неизвестных взять произвольную систему их n – r лн векторов и найти соответствующее значение x₁, …, x_r, то полученное решение будет называться фундаментальной системой решений (ФСР).

Если же , то по теореме Кронекера – Капелли решений нет.

Метод Гаусса по шагам

1. Пользуясь первым уравнением, исключаем x₁ из остальных уравнений.

2. Пользуясь вторым уравнением, исключаем x₂ из остальных уравнений и т.д.

3. Получаем трапецеидальную систему уравнений.

Элементы, выделенные желтым цветом, могут принимать любые значения, а элементы, отмеченные зелеными квадратами находим снизу вверх.