Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Тоерема



Собственные векторы оператора A, соответствующие различным собственным значениям образуют лнс.

Доказательство (по мат. индукции)

1. Пусть m = 1 – кол-во векторов.

x 1 – собственный вектор => x 1 ≠ 0 => система { x 1} – лнс.

2. Пусть теорема верна для некоторого m. Докажем ее справедливость для m + 1.

Есть система x 1, …, xm +1 – собственные вектора, соответствующие λ 1, …, λm +1 – собственные значения. Согласно условию λiλj при i ≠ j.

Предположим, что эта система лз. Тогда найдутся числа α 1, …, α m +1 такие, что

α 1 x 1 + … + α m +1 xm +1 = 0 (*) и не все α i = 0. Пусть, например, α m +1 ≠ 0.

Применим к равенству (*) оператор A.

α 1 A x 1 + … + α m +1 A xm +1 = 0

α 1 λ 1 x 1 + … + α m +1 λm +1 xm +1 = 0 (**)

Умножим равенство (*) на – λ 1 и прибавим к (**).

α 2 (λ 2 - λ 1) x 2 + … + α m +1 (λm +1 λ 1) xm +1 = 0 => по предположению индукции все коэффициенты этой линейной комбинации = 0. В частности, α m +1 (λm +1 λ 1) = 0. Т.к. αm +1 ≠ 0, то (λm +1 λ 1) = 0 => λm +1 = λ 1 – противоречие.

Доказано

Определение: Базис g 1, …, gn будем называть каноническим базисом квадратичной формы B (x), если матрица B в этом базисе имеет вид , числа λ 1, …, λn – канонические коэффициенты B.

Пояснение: Пусть A(x, y) – числовая функция, у которой аргументы принадлежат пространству L. A называется билинейной формой, если:

1) A(αx + βy, z) = αA(x, z) + βA(y, z)

2) A(x, αy + βz) = αA(x, y) + βA(x, z)

А функцию B(x) = A(x, x) называют квадратичной формой, порожденной формой A.


ВОПРОС 5 (1).

Определение системы линейных уравнений, ее матричная и векторная запись. Метод Гаусса решения линейной системы. Теорема Кронекера-Капелли. Пространство решений однородной линейной системы. Фундаментальная система решений однородной линейной системы.

Определение: Системой m линейных уравнений с n неизв. называют совокупность равенств:

расширенная матрица системы

Решением системы (1) наз. набор неизвестных x1, …, xn, превращающий каждое из уравнений в верное равенство.

Две системы называют эквивалентными, если количества их решений совпадают.

Замечание: следующие преобразования уравнений системы не изменяют множества их решений:

1) Перестановка уравнений системы

2) Умножение любого уравнения на ненулевой множитель

3) Вычеркивание одного из 2ух одинаковых уравнений

4) Замена уравнения суммой этого уравнения и любого другого уравнения системы

Виды записи системы л.ур.:

1) Обозначим тогда система (1) эквивалентна матричному уравнению Ax = b

2) Построим линейный оператор RnRm. Подставим в соотв. каждому . Обозначим этот оператор той же буквой A. Теперь Ax = b

3) Обозначим теперь aj – j-ый столбец A: x1a1 + … + xnan = b.

Определение: (1) называется однородной, если b = 0. В противном случае – неоднородной.

Теорема Кронекера – Капелли:

(1) разрешена

Доказательство:

Пусть – решение (1). Тогда рассмотрим систему в векторном виде. Записываем x1a1 + … + xnan = b => столбец в матрице - лин. комб. столбцов матрицы A. Поэтому:

Пусть . Пусть базисный минор A расположен в левом верхнем углу:

желтым цветом выделен базисный минор

базисный минор и . Поэтому по теореме о базисном миноре, любой столбец матрицы и в частности, столбец b является линейной комбинацией базисных столбцов. Значит найдутся числа x1, …, xr, т.ч. b = x1a1 + … + xrar = > x = (x1, …, xr,, 0, …, 0)т – решение системы.

Доказано.

Пояснения:

Теорема о базисном миноре:

A – матрица порядка m x n. Тогда:

1) Базисные столбцы (строки)лн в пространстве Rm (Rn) (или для компл. Cm (Cn))

2) Любой столбец (строка) матрицы явл—ся линейной комбинацией базисных столбцов(строк)

Определение: Пусть есть некоторая матрица A и rang A = r. Тогда любой ненулевой минор порядка r наз-ся базисным минором матрицы A. А строки и столбцы матрицы A, на пересечении которых расположен этот минор наз-ся базисными строками и базисными столбцами.

Пример:

Желтым цветом выделены элементы одного базисного минора, а жирным шрифтом – другого.





Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 199 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.011 с)...