Тоерема

Собственные векторы оператора A, соответствующие различным собственным значениям образуют лнс.

Доказательство (по мат. индукции)

1. Пусть m = 1 – кол-во векторов.

x ₁ – собственный вектор => x ₁ ≠ 0 => система { x ₁} – лнс.

2. Пусть теорема верна для некоторого m. Докажем ее справедливость для m + 1.

Есть система x ₁, …, x_{m +1} – собственные вектора, соответствующие λ ₁, …, λ_{m +1} – собственные значения. Согласно условию λi ≠ λj при i ≠ j.

Предположим, что эта система лз. Тогда найдутся числа α ₁, …, α _{m +1} такие, что

α ₁ x ₁ + … + α _{m +1} x_{m +1} = 0 (*) и не все α _i = 0. Пусть, например, α _{m +1} ≠ 0.

Применим к равенству (*) оператор A.

α ₁ A x ₁ + … + α _{m +1} A x_{m +1} = 0

α ₁ λ ₁ x ₁ + … + α _{m +1} λ_{m +1} x_{m +1} = 0 (**)

Умножим равенство (*) на – λ ₁ и прибавим к (**).

α ₂ (λ ₂ - λ ₁) x ₂ + … + α _{m +1} (λ_{m +1} – λ ₁) x_{m +1} = 0 => по предположению индукции все коэффициенты этой линейной комбинации = 0. В частности, α _{m +1} (λ_{m +1} – λ ₁) = 0. Т.к. α_{m +1} ≠ 0, то (λ_{m +1} – λ ₁) = 0 => λ_{m +1} = λ ₁ – противоречие.

Доказано

Определение: Базис g ₁, …, g_n будем называть каноническим базисом квадратичной формы B (x), если матрица B в этом базисе имеет вид , числа λ ₁, …, λ_n – канонические коэффициенты B.

Пояснение: Пусть A(x, y) – числовая функция, у которой аргументы принадлежат пространству L. A называется билинейной формой, если:

1) A(αx + βy, z) = αA(x, z) + βA(y, z)

2) A(x, αy + βz) = αA(x, y) + βA(x, z)

А функцию B(x) = A(x, x) называют квадратичной формой, порожденной формой A.

ВОПРОС 5 (1).

Определение системы линейных уравнений, ее матричная и векторная запись. Метод Гаусса решения линейной системы. Теорема Кронекера-Капелли. Пространство решений однородной линейной системы. Фундаментальная система решений однородной линейной системы.

Определение: Системой m линейных уравнений с n неизв. называют совокупность равенств:

– расширенная матрица системы

Решением системы (1) наз. набор неизвестных x₁, …, x_n, превращающий каждое из уравнений в верное равенство.

Две системы называют эквивалентными, если количества их решений совпадают.

Замечание: следующие преобразования уравнений системы не изменяют множества их решений:

1) Перестановка уравнений системы

2) Умножение любого уравнения на ненулевой множитель

3) Вычеркивание одного из 2ух одинаковых уравнений

4) Замена уравнения суммой этого уравнения и любого другого уравнения системы

Виды записи системы л.ур.:

1) Обозначим тогда система (1) эквивалентна матричному уравнению Ax = b

2) Построим линейный оператор Rⁿ → R^m. Подставим в соотв. каждому . Обозначим этот оператор той же буквой A. Теперь Ax = b

3) Обозначим теперь a^j – j-ый столбец A: x₁a¹ + … + x_naⁿ = b.

Определение: (1) называется однородной, если b = 0. В противном случае – неоднородной.

Теорема Кронекера – Капелли:

(1) разрешена

Доказательство:

Пусть – решение (1). Тогда рассмотрим систему в векторном виде. Записываем x₁a¹ + … + x_naⁿ = b => столбец в матрице - лин. комб. столбцов матрицы A. Поэтому:

Пусть . Пусть базисный минор A расположен в левом верхнем углу:

желтым цветом выделен базисный минор

базисный минор и . Поэтому по теореме о базисном миноре, любой столбец матрицы и в частности, столбец b является линейной комбинацией базисных столбцов. Значит найдутся числа x₁, …, x_r, т.ч. b = x₁a¹ + … + x_ra^r = > x = (x₁, …, x_r,, 0, …, 0)^т – решение системы.

Доказано.

Пояснения:

Теорема о базисном миноре:

A – матрица порядка m x n. Тогда:

1) Базисные столбцы (строки)лн в пространстве R^m (Rⁿ) (или для компл. C^m (Cⁿ))

2) Любой столбец (строка) матрицы явл—ся линейной комбинацией базисных столбцов(строк)

Определение: Пусть есть некоторая матрица A и rang A = r. Тогда любой ненулевой минор порядка r наз-ся базисным минором матрицы A. А строки и столбцы матрицы A, на пересечении которых расположен этот минор наз-ся базисными строками и базисными столбцами.

Пример:

Желтым цветом выделены элементы одного базисного минора, а жирным шрифтом – другого.