![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Собственные векторы оператора A, соответствующие различным собственным значениям образуют лнс.
Доказательство (по мат. индукции)
1. Пусть m = 1 – кол-во векторов.
x 1 – собственный вектор => x 1 ≠ 0 => система { x 1} – лнс.
2. Пусть теорема верна для некоторого m. Докажем ее справедливость для m + 1.
Есть система x 1, …, xm +1 – собственные вектора, соответствующие λ 1, …, λm +1 – собственные значения. Согласно условию λi ≠ λj при i ≠ j.
Предположим, что эта система лз. Тогда найдутся числа α 1, …, α m +1 такие, что
α 1 x 1 + … + α m +1 xm +1 = 0 (*) и не все α i = 0. Пусть, например, α m +1 ≠ 0.
Применим к равенству (*) оператор A.
α 1 A x 1 + … + α m +1 A xm +1 = 0
α 1 λ 1 x 1 + … + α m +1 λm +1 xm +1 = 0 (**)
Умножим равенство (*) на – λ 1 и прибавим к (**).
α 2 (λ 2 - λ 1) x 2 + … + α m +1 (λm +1 – λ 1) xm +1 = 0 => по предположению индукции все коэффициенты этой линейной комбинации = 0. В частности, α m +1 (λm +1 – λ 1) = 0. Т.к. αm +1 ≠ 0, то (λm +1 – λ 1) = 0 => λm +1 = λ 1 – противоречие.
Доказано
Определение: Базис g 1, …, gn будем называть каноническим базисом квадратичной формы B (x), если матрица B в этом базисе имеет вид , числа λ 1, …, λn – канонические коэффициенты B.
Пояснение: Пусть A(x, y) – числовая функция, у которой аргументы принадлежат пространству L. A называется билинейной формой, если:
1) A(αx + βy, z) = αA(x, z) + βA(y, z)
2) A(x, αy + βz) = αA(x, y) + βA(x, z)
А функцию B(x) = A(x, x) называют квадратичной формой, порожденной формой A.
ВОПРОС 5 (1).
Определение системы линейных уравнений, ее матричная и векторная запись. Метод Гаусса решения линейной системы. Теорема Кронекера-Капелли. Пространство решений однородной линейной системы. Фундаментальная система решений однородной линейной системы.
Определение: Системой m линейных уравнений с n неизв. называют совокупность равенств:
– расширенная матрица системы
Решением системы (1) наз. набор неизвестных x1, …, xn, превращающий каждое из уравнений в верное равенство.
Две системы называют эквивалентными, если количества их решений совпадают.
Замечание: следующие преобразования уравнений системы не изменяют множества их решений:
1) Перестановка уравнений системы
2) Умножение любого уравнения на ненулевой множитель
3) Вычеркивание одного из 2ух одинаковых уравнений
4) Замена уравнения суммой этого уравнения и любого другого уравнения системы
Виды записи системы л.ур.:
1) Обозначим тогда система (1) эквивалентна матричному уравнению Ax = b
2) Построим линейный оператор Rn → Rm. Подставим в соотв. каждому . Обозначим этот оператор той же буквой A. Теперь Ax = b
3) Обозначим теперь aj – j-ый столбец A: x1a1 + … + xnan = b.
Определение: (1) называется однородной, если b = 0. В противном случае – неоднородной.
Теорема Кронекера – Капелли:
(1) разрешена
Доказательство:
Пусть
– решение (1). Тогда рассмотрим систему в векторном виде. Записываем x1a1 + … + xnan = b => столбец в матрице
- лин. комб. столбцов матрицы A. Поэтому:
Пусть
. Пусть базисный минор A расположен в левом верхнем углу:
желтым цветом выделен базисный минор
базисный минор и
. Поэтому по теореме о базисном миноре, любой столбец матрицы
и в частности, столбец b является линейной комбинацией базисных столбцов. Значит найдутся числа x1, …, xr, т.ч. b = x1a1 + … + xrar = > x = (x1, …, xr,, 0, …, 0)т – решение системы.
Доказано.
Пояснения:
Теорема о базисном миноре:
A – матрица порядка m x n. Тогда:
1) Базисные столбцы (строки)лн в пространстве Rm (Rn) (или для компл. Cm (Cn))
2) Любой столбец (строка) матрицы явл—ся линейной комбинацией базисных столбцов(строк)
Определение: Пусть есть некоторая матрица A и rang A = r. Тогда любой ненулевой минор порядка r наз-ся базисным минором матрицы A. А строки и столбцы матрицы A, на пересечении которых расположен этот минор наз-ся базисными строками и базисными столбцами.
Пример:
Желтым цветом выделены элементы одного базисного минора, а жирным шрифтом – другого.
Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 217 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!