![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Определение кольца. Определение поля. Кольцо многочленов над полем. Основная теорема алгебры (без доказательства). Следствие из основной теоремы алгебры (разложение многочлена на неприводимые множители над полем комплексных чисел). Корни многочлена с действительными коэффициентами и его разложение на действительные неприводимые множители.
Определение: Пусть K – множество, на котором заданы две алгебраические операции, обозначаемые «+» и «•», называемые «сложение» и «умножение» соответственно.
1) Пусть относительно 1-ой операции (K, +) является коммутативной группой.
2) Пусть операция «•» ассоциативна.
3) Пусть выполнены соотношения:
- дистрибутивность
тогда (K, +, •) называется кольцом.
Если K содержит нейтральный элемент относительно операции «•», то K называется кольцом с единицей. Если операция умножения коммутативна, то K называется коммутативным кольцом.
Пояснение: Пусть G – множество, на которой задана алгебраическая операция ☼. (G, ☼) – коммутативная группа, если выполняются следующие условия:
1)
2) e – нейтральная единица
3)
4)
Примеры:
1) (R, +, •) – коммутативное кольцо с единицей
2) (Z, +, •) – коммутативное кольцо с единицей
Определение: Пусть P – множество с двумя операциями «+», «•». Пусть выполняется следующее:
1) (P, +) – коммутативная группа
2) (P\{0}, •) – коммутативная группа
3)
тогда (P, +, •) – поле
Примеры:
1) (R, +, •) – поле
2) (Q, +, •) – поле
3) (Z3, +, •) – поле
Пояснение:
Z3 – множество вычетов по модулю 3.
Определение: Многочленом над полем (или
) называется конечная последовательность
Многочлены a и b называют равными, если
Сумма двух многочленов a и b: c = a + b; ci = ai + bi
Произведение двух многочленов a и b: d = ab; di =
Нулевым многочленом называют многочлен, в котором все коэффициенты равны 0:
0 = (0, 0, …, 0)
Определение: Пусть a – ненулевой многочлен (a ≠ 0): a = (a1, a2, …, an, 0, …, 0), тогда степенью многочлена a называют число n = deg a.
Теорема: Множество многочленов над полем является коммутативным кольцом с единицей.
Док-во:
1. P(, +) – коммутативная группа
2. Пусть
Проверим, что (ab)c = a(bc)
1) Введем обозначения ab = d, dc = f, bc = g, ag = h. Проверим, f = h?
2) .
Аналогично, .
Следовательно,
3. (a + b)c = ac + bc - дистрибутивность
4. dc = cd – коммутативность
5. 1 = (1, 0, 0, …)
Доказано.
Основная теорема алгебры: Любой многочлен степени n ≥ 1 с комплексными коэффициентами имеет корень.
Определение: Число x0 называется корнем многочлена a (x), если a (x0) = 0,
где
Число x0 называется корнем кратности k многочлена a (x), если a(x) = (x – x0)kq(x)
Следствия основной теоремы алгебры (без доказательства):
«Разложение многочлена над полем ».
Многочлен степени n ≥ 1имеет n корней, если их считать с учетом кратности.
ВОПРОС 3 (1).
Определение линейного пространства. Размерность и базис линейного пространства. Сумма и пересечение линейных подпространств. Теорема о размерности суммы линейных подпространств. Примеры.
Определение: Пусть (L, +) – коммутативная группа, P – поле и пусть тогда
1. α(βx) = (αβ)x,
2. 1• x = x
3. (α + β) x = αx + βx
4. α(x + y) = αx + αy
тогда L называется линейным пространством над полем P.
Элементы L будем называть точками или векторами, а элементы P – числами.
Пример: R2 = L, P = R; x = (x1, x2)т, x1, x2 принадлежат R.
Определение: система векторов называется базисом пространства L, если:
1) – линейно независимая система
2)
- координаты x в базисе
. Число n (количество элементов базиса) называется размерностью пространства L. n = dim L.
Пояснение: система векторов называется линейно независимой системой (лнс),если
Система, не являющаяся лнс называется линейно зависимой системой (лзс)
Определение: Пусть L1, L2 – подпространства L. Тогда их суммой называется множество
Пример: в R3:
Свойства базиса и размерности (без доказательства)
1) Координаты вектора в данном базисе определены однозначно.
2) При сложении векторов их координаты складываются, а при умножении вектора на числа – умножаются на это число.
3) Пусть l1, …,l2; g1, …, g2 – базисы пространства L, тогда m = n
4) Пусть dim L = n. Тогда векторы образуют лзс
5) Пусть dim L = n. Тогда лнс, состоящая из n векторов является базисом.
6) лнс векторов конечномерного пространства можно дополнить до базиса.
Определение: Пусть L1, L2 – подпространства L. Тогда их суммой называется множество
Теорема (о размерности суммы линейных подпространств)
Доказательство:
Выберем базис в . Учитывая, что любую лнс векторов конечномерного пространства можно дополнить до базиса (это утверждение), и зная, что
можно дополнить
до базиса L 1. Пусть
базис L1 (2);
базис в L 2(3).
Докажем, что система базис L 1 + L 2 (4).
1) Система (4) – лнс
Обозначим данные суммы a, b и c соответственно.
//не знаю почему
Т.к. из (5) => имеем:
.
Разложим вектор c по базису (1): и подставим в равенство (5)
Получилась линейная комбинация векторов пр-ва L 2 =>
2) . Т.к.
- линейная комбинация +
- л.к., значит (4) – лкс.
Итак, система (4) – базис . Значит
Доказано.
ВОПРОС 4 (1).
Определение линейного оператора и его матрицы. Связь между матрицами линейного оператора в разных базисах. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Теорема о линейной независимости системы собственных векторов с разными собственными значениями. Канонический вид линейного оператора в случае, когда все его собственные значения различны.
Определение: Пусть есть L 1, L 2 – линейные пространства. И пусть есть функция A: L 1→ L 2. A называется линейным оператором, если выполняются следующие условия:
1)
2)
Примеры:
1) Ax = 0; A = 0 – нулевой оператор
2) A: L → L (оператор действует в одном пространстве)
Ax = x – единичный оператор (Обозн. A = I)
Определение: Ядро линейного оператора: Ker A = { x: A (x) = 0}
Образ линейного оператора: Im A = { A (x); }
Определение: Пусть e 1, …, e n; g 1, …, g m – базисы L. Разложим векторы базиса второго по первому Матрица C – матрица перехода от базиса { ei } к базису { gi }.
Формула связи координат векторов в двух базисах
Замечание: Матрица C невырождена. Если бы она была вырождена, то ее столбцы были бы лз, а это означало бы, что векторы { g } лз. Поэтому существует обратная матрица к C = C -1.
Как связаны Ae и Ag? Возьмем произвольный и обозначим y = Ax значение линейного оператора.
Известно, что xe = Cxg; ye = Cye
ye = Cyg, ye = Aexe, yg = Agxg
ð AeCxg = CAgxg => CAg = AeC.
Итак, получили формулу связи линейного оператора в разных базисах:
Ag = C-1 AeC
Замечание: det Ag = det (C-1AeC) = det C-1 detA*det C = det C-1 det C det Ae = det Ae
Т. е. определитель матрицы линейного оператора не зависит от выбора базиса (инфвариант)
Примеры:
1) Ae1 = 2e1 + 3e2
Ae2 = 3e1 – e2
2) Ag1 = g1
Ag2 = 0
Определение: Пусть A: L → L. Пусть . Пусть λ – некоторое число. Пусть Ax=λx. x – ненулевое решение уравнения Ax= λx. Тогда x называется собственным вектором оператора A, соответствующим собственному значению λ.
Пример: Пусть A = I, тогда λ = 1, а все векторы x ≠ 0 будут собственные.
Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 276 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!