![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
ВОПРОС 1 (1).
Определение: Пусть G – множество, на которой задана алгебраическая операция ☼. (G, ☼) – группа, если выполняются следующие условия:
1)
2) e – нейтральная единица
3)
Если то группа называется коммутативной или абелевой.
Объяснение: Пусть A – множество и пусть согласно некоторому правилу, каждой упорядоченной паре поставлено соответствие – элемент
тогда говорят, что на множестве A задана алгебраическая операция «
», а
называется алгебраической структурой.
Замечание: Если групповая операция обозначается знаком «+», то она называется «сложение», нейтральный элемент обозначается «0» и называется «нулевой», а обратный элемент обозначается «-a» и называется «противоположный к a».
Примеры:
1. (Z, +)
1) (a + b) + c = a + (b + c)
2) 0 Z, a + 0 = 0 + a = a
3) ± a Z, (-a) + a = 0
Значит, (Z, +) – группа
4) a + b = b + a => группа коммутативна (это абелева группа)
2.
1) (a + b) + c = a + (b + c)
2) 0
, a + 0 = 0 + a = a
3) Если a то - a
Значит, - не группа
3. ({1; -1}, •) – абелева (коммутативная) группа по умножению
Определение: Группа (G, ☼) называется циклической, если она порождена одним элементом a, то есть все её элементы являются степенями a (или представимы в виде na, где n — целое число.)
Таким образом, мы называем G циклической, если G = { an | }. При этом a называется образующей группы
Например, множество целых чисел является циклической группой с образующим, равным 1.
Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 759 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!