Определение группы. Примеры групп. Абелевы группы. Циклическая группа. Примеры

ВОПРОС 1 (1).

Определение: Пусть G – множество, на которой задана алгебраическая операция ☼. (G, ☼) – группа, если выполняются следующие условия:

1)

2) e – нейтральная единица

3)

Если то группа называется коммутативной или абелевой.

Объяснение: Пусть A – множество и пусть согласно некоторому правилу, каждой упорядоченной паре поставлено соответствие – элемент тогда говорят, что на множестве A задана алгебраическая операция «», а называется алгебраической структурой.

Замечание: Если групповая операция обозначается знаком «+», то она называется «сложение», нейтральный элемент обозначается «0» и называется «нулевой», а обратный элемент обозначается «-a» и называется «противоположный к a».

Примеры:

1. (Z, +)

1) (a + b) + c = a + (b + c)

2) 0 Z, a + 0 = 0 + a = a

3) ± a Z, (-a) + a = 0

Значит, (Z, +) – группа

4) a + b = b + a => группа коммутативна (это абелева группа)

2.

1) (a + b) + c = a + (b + c)

2) 0 , a + 0 = 0 + a = a

3) Если a то - a

Значит, - не группа

3. ({1; -1}, •) – абелева (коммутативная) группа по умножению

Определение: Группа (G, ☼) называется циклической, если она порождена одним элементом a, то есть все её элементы являются степенями a (или представимы в виде na, где n — целое число.)

Таким образом, мы называем G циклической, если G = { aⁿ | }. При этом a называется образующей группы

Например, множество целых чисел является циклической группой с образующим, равным 1.