Однородные ДУ. Примеры

Уравнение

, (4.1)

в котором M и N - однородные функции одной и той же степени, называется однород-ным уравнением. Функция f(x,y) называется однородной функцией степени k, если при всех t выполняется тождество . Например, функция – однородная второй степени, т.к. ; функция – однородная первой степени; функция - однородная третьей степени.

Записываем уравнение (4.1) в виде:

.

Делаем замену .

Пусть функции имеют степень однородности k, тогда

-

уравнение с разделенными переменными. Пусть общее решение последнего уравнения, тогда - общее решение уравнения (4.1).

П. 4.1. .

M(x,y)=x(x+2y), N(x,y)=x²-y². Легко проверить, что функции M и N однородные второй степени. Делаем замену y=zx; находим : . С другой стороны из заданного уравнения или

, ,

. Так как , то ∫ = =∫( ), , подставляя вместо , получаем общий интеграл: .

П. 4.2.

Функции M=y и N=y-x однородные первой степени. Поступаем по шаблону: y=zx, ,

∫ ∫ , или ∫ ∫ , , подставляя в это уравнение , находим общий интеграл:

, , .

П. 4.3. .

Выделить интегральную кривую, проходящую через точку т.е. найти частное решение, удовлетворяющее начальным данным: .

Уравнение однородное первой степени. Делаем замену y=zx, ,

, или

, ∫ ∫ , , подставляя в это уравнение , находим , , подставляя начальные данные, находим 0+ , с= 1 - искомое частное решение.

7. Линейные неоднородные и однородные ДУ. Метод Бернулли. Пример.

8. ЛОДУ и ЛНДУ. Метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной). Пример.

9. ДУ в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.

10. Уравнения Лагранжа и Клеро. Примеры.

11. ДУ второго порядка. Задача Коши. Общее и частное решения. Общий интеграл как семейство кривых. Теорема существования и единственности (без док-ва).

12. Понижение порядка ДУ: ДУ, содержащие явно искомую функцию, и ДУ, явно не содержащие искомую функцию.

13. Понижение порядка ДУ: ДУ, явно не содержащие независимой переменной.

14. Интегрирование ДУ порядка выше второго. Пример.

15. ЛНДУ и ЛОДУ высшего порядка. Линейно зависимые и линейно независимые функции. Пример.

16. Определитель Вронского (вронскиан). Теоремы 1 и 2. Док-во. Формула Лиувилля. Теорема 3 (без док-ва).

17. Структура общего решение ЛДУ высшего порядка. Теорема 4. Док-во. Фундаментальная система решений. Теорема 5 (без док-ва).

18. ЛОДУ 2 порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Теорема 6.

19. ЛНДУ 2 порядка с постоянными коэффициентами. Метод неопределенных коэффициентов (рассмотреть 2 случая). Теорема 7 (без док-ва).

20. Метод вариации произвольных постоянных для определения частного решения ЛНДУ (метод Лагранжа).

21. ЛДУ с постоянными коэффициентами порядка выше второго: вронскиан, характеристическое уравнение, метод вариации произвольных постоянных.

22. Интегрирование систем ДУ. Нормальная система ДУ. Метод исключения.

23. Интегрирование систем ДУ. Системы ЛДУ с постоянными коэффициентами (рассмотреть решение матричным способом, используя собственные числа и собственные векторы).