![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Уравнение
, (4.1)
в котором M и N - однородные функции одной и той же степени, называется однород-ным уравнением. Функция f(x,y) называется однородной функцией степени k, если при всех t выполняется тождество . Например, функция
– однородная второй степени, т.к.
; функция
– однородная первой степени; функция
- однородная третьей степени.
Записываем уравнение (4.1) в виде:
.
Делаем замену
.
Пусть функции имеют степень однородности k, тогда
-
уравнение с разделенными переменными. Пусть общее решение последнего уравнения, тогда
- общее решение уравнения (4.1).
П. 4.1. .
M(x,y)=x(x+2y), N(x,y)=x2-y2. Легко проверить, что функции M и N однородные второй степени. Делаем замену y=zx; находим :
. С другой стороны из заданного уравнения
или
,
,
. Так как
, то
∫
= =∫(
),
,
подставляя вместо
, получаем общий интеграл:
.
П. 4.2.
Функции M=y и N=y-x однородные первой степени. Поступаем по шаблону: y=zx, ,
∫
∫
, или ∫
∫
,
, подставляя в это уравнение
, находим общий интеграл:
,
,
.
П. 4.3. .
Выделить интегральную кривую, проходящую через точку т.е. найти частное решение, удовлетворяющее начальным данным:
.
Уравнение однородное первой степени. Делаем замену y=zx, ,
, или
, ∫
∫
,
, подставляя в это уравнение
, находим
,
, подставляя начальные данные, находим 0+
, с= 1
- искомое частное решение.
7. Линейные неоднородные и однородные ДУ. Метод Бернулли. Пример.
8. ЛОДУ и ЛНДУ. Метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной). Пример.
9. ДУ в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
10. Уравнения Лагранжа и Клеро. Примеры.
11. ДУ второго порядка. Задача Коши. Общее и частное решения. Общий интеграл как семейство кривых. Теорема существования и единственности (без док-ва).
12. Понижение порядка ДУ: ДУ, содержащие явно искомую функцию, и ДУ, явно не содержащие искомую функцию.
13. Понижение порядка ДУ: ДУ, явно не содержащие независимой переменной.
14. Интегрирование ДУ порядка выше второго. Пример.
15. ЛНДУ и ЛОДУ высшего порядка. Линейно зависимые и линейно независимые функции. Пример.
16. Определитель Вронского (вронскиан). Теоремы 1 и 2. Док-во. Формула Лиувилля. Теорема 3 (без док-ва).
17. Структура общего решение ЛДУ высшего порядка. Теорема 4. Док-во. Фундаментальная система решений. Теорема 5 (без док-ва).
18. ЛОДУ 2 порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Теорема 6.
19. ЛНДУ 2 порядка с постоянными коэффициентами. Метод неопределенных коэффициентов (рассмотреть 2 случая). Теорема 7 (без док-ва).
20. Метод вариации произвольных постоянных для определения частного решения ЛНДУ (метод Лагранжа).
21. ЛДУ с постоянными коэффициентами порядка выше второго: вронскиан, характеристическое уравнение, метод вариации произвольных постоянных.
22. Интегрирование систем ДУ. Нормальная система ДУ. Метод исключения.
23. Интегрирование систем ДУ. Системы ЛДУ с постоянными коэффициентами (рассмотреть решение матричным способом, используя собственные числа и собственные векторы).
Дата публикования: 2015-01-25; Прочитано: 525 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!