Криволинейный интеграл I рода (по длине). Свойства

Рассмотрим спрямляемую (т.е. имеющую длину) кривую AB на плоскости (A, B – точки плоскости). Для простоты, считаем что эта кривая задана параметрически , причем – непрерывно дифференцируемые на отрезке функции такие, что каждому значению параметра соответствует единственная точка кривой.

Тогда длина кривой выражается формулой .

Под разбиением T кривой AB будем понимать множество точек , лежащих на этой кривой и занумерованных в направлении от A к B. Пусть - длина кривой .

Диаметр d (T) определим как .

Пусть функция определена на кривой AB. Выберем на каждом участке кривой точку и образуем сумму , называемую интегральной.

Определение. Пусть . Если , то величина I называется криволинейным интегралом первого типа по кривой AB и обозначается так: .

Важное замечание. Если бы мы совершали движение по кривой не от A к B, а от B к A, то в разбиении T с выбранными точками изменилась бы только нумерация отрезков и точек , а сама интегральная сумма не изменилась бы, поскольку в ее определении фигурирует лишь длина участка, которая не зависит от того, в каком направлении проходится участок. Это означает, что .

В этом важнейшее отличие от обычного определенного интеграла, который менял бы знак при изменении направления обхода кривой.

Сформулируем теорему, сводящую новый пока объект – криволинейный интеграл к обычному определенному интегралу.

Теорема. Пусть - непрерывная на кривой AB функция (т.е. - точек кривой таких, что расстояние между меньше ). Пусть кривая AB параметризована так: , где - непрерывные на функции, причем каждому значению параметра соответствует единственная точка кривой. Тогда .

Теорему оставим без доказательства.

Отметим, что изменение направления обхода кривой означает одновременную смену пределов интегрирования и знака величины dt, что не изменяет величину интеграла в правой части этого равенства.

Из свойств криволинейного интеграла отметим следующие 2 остальных:

1. при условии, что существуют и .

2. Если AB, BC – кривые, удовлетворяющие условиям теоремы, то

.

Свойство 2 позволяет определить криволинейные интегралы 1-го типа для кусочно-гладких кривых (т.е. кривых, состоящих из конечного числа частей, каждая из которых удовлетворяет условиям теоремы). В частности, можно определить криволинейный интеграл и для замкнутых кривых.

1) Значение криволинейного интеграла по длине дуги не зависит от направления кривой АВ.

2) Постоянный множитель можно выносить за знак криволинейного интеграла.

3) Криволинейный интерал от суммы функций равен сумме криволинейных интегралов от этих функций.

4) Если кривая АВ разбита на дуга АС и СВ, то

5) Если в точках кривой АВ

то

6) Справедливо неравенство:

7) Если f(x, y, z) = 1, то

S – длина дуги кривой, l - наибольшая из всех частичных дуг, на которые разбивается дуга АВ.

8) Теорема о среднем.

Если функция f(x, y, z) непрерывна на кривой АВ, то на этой кривой существует точка (x₁, y₁, z₁) такая, что

Для вычисления криволинейного интеграла по длине дуги надо определить его связь с обыкновенным определенным интегралом.

Пусть кривая АВ задана параметрически уравнениями x = x(t), y = y(t), z = z(t),

a £ t £ b, где функции х, у, z – непрерывно дифференцируемые функции параметра t, причем точке А соответствует t = a, а точке В соответствует t = b. Функция f(x, y, z) – непрерывна на всей кривой АВ.

Для любой точки М(х, у, z) кривой длина дуги АМ вычисляется по формуле

Длина всей кривой АВ равна:

Криволинейный интеграл по длине дуги АВ будет находиться по формуле:

Таким образом, для вычисления криволинейного интеграла первого рода (по длине дуги АВ) надо, используя параметрическое уравнение кривой выразить подынтегральную функцию через параметр t, заменить ds дифференциалом дуги в зависимости от параметра t и проинтегрировать полученное выражение по t.