ДУ с разделяющимися переменными. Примеры

Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение первого порядка вида

где X (x) и Y (y) — непрерывные функции.

Найдем общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения первого порядка exp(-y)(x+y')=x

Запишем уравнение в нормальной форме: y'=(exp(y)-1)x

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные:

dy/(exp(y)-1)=xdx

Запишем и вычислим выражение для общего интеграла этого уравнения

Знак интеграла вводится щелчком по символу интеграла в панели Calculus

Для того чтобы вывести в рабочий документ результат символьных вычислений, функцию F(x,y), нужно ввести имя функции и знак символьных вычислений ("стрелка вправо").

Знак символьных вычислений вводится щелчком по соответствующей позиции в панели Evaluation или в панели Symbolic

Общий интеграл уравнения записывается в виде F(x, y) = C:

Проверим правильность результата.

Выражение F(x,y) = С задает решение уравнения y=y(x) как функцию переменной x в неявной форме.

Для проверки решения вычислим производную y'(x) по формулам дифференцирования неявной функции и подставим ее в уравнение y' = (exp(y)-1)x, или, что то же самое, в уравнение y' -(exp(y)-1)x=0:

Введите ключевое слово simplify щелчком по соответствующей позиции в панели Symboliic, введите левую часть уравнения в помеченной позиции слева и щелкните по рабочему документу вне выделяющей рамки

После подстановки уравнение обратилось в тождество. Общий интеграл записан верно.