Формула Муавра

Формула, позволяющая возводить в степень комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид:

,

где r — модуль, а — аргумент комплексного числа. В современной символике она опубликована Эйлером в 1722 г.

Эта формула применима при вычислении корней n-ой степени из комплексного числа.

Логарифмированием называют операцию, обратную потенцированию. Так, если верно равенство

,

то верно равенство

Как и в случае комплексных чисел, логарифм кватерниона неоднозначен и сферично - периодичен. Отбрасывая сферично-периодичную составляющую в ln(p), и зная покомпонентное представление , найдем ln(p).

Несложно заметить, что кватернион является в некотором роде 3-х мерным комплексным числом. Приведенные формулы переходят в соответствующие формулы для комплексных чисел при сокращении базиса мнимых единиц до любой одной.

3. Дифференциальные уравнения (ДУ) первого порядка. Определение, решение, общее решение ДУ первого порядка. Задача Коши. Частное решение.

Зада́ча Коши́ — одна из основных задач теории дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными); состоит в отыскании решения (интеграла) дифференциального уравнения, удовлетворяющего так называемым начальным условиям (начальным данным).

Задача Коши обычно возникает при анализе процессов, определяемых дифференциальным законом и начальным состоянием, математическим выражением которых и являются уравнение и начальное условие (откуда терминология и выбор обозначений: начальные данные задаются при t = 0, а решение отыскивается при t > 0).

От краевых задач задача Коши отличается тем, что область, в которой должно быть определено искомое решение, здесь заранее не указывается. Тем не менее, задачу Коши можно рассматривать как одну из краевых задач.

Основные вопросы, которые связаны с задачей Коши, таковы:

1. Существует ли (хотя бы локально) решение задачи Коши?

2. Если решение существует, то какова область его существования?

3. Является ли решение единственным?

4. Если решение единственно, то будет ли оно корректным, то есть непрерывным (в каком-либо смысле) относительно начальных данных?

Говорят, что задача Коши имеет единственное решение, если она имеет решение y=f(x) и никакое другое решение не отвечает интегральной кривой, которая в сколь угодно малой выколотой окрестности точки (x0,y0) имеет поле направлений, совпадающее с полем направлений y=f(x). Точка (x0,y0) задаёт начальные условия.