Вычисление криволинейного интеграла I рода

Криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от направления движения по кривой, то есть . Это единственное свойство, которое не совпадает с обычными свойствами интегралов, определеямых через предел интегральной суммы. Если - отрезок кусочно-гладкой кривой, заданной параметрически:
, то криволинейный интеграл вычисляется по формуле:
. Если плоская кривая задана в явном виде, то криволинейный интеграл вычисляется по формуле: .

15. Приложения криволинейного интеграла I рода: Длина кривой, площадь цилиндрической поверхности, статические моменты материальной кривой, моменты инерции материальной кривой. Физический смысл криволинейного интеграла I рода.

16. Криволинейный интеграл II рода (по координатам).

17. Вычисление криволинейного интеграла II рода.

18. Приложения криволинейного интеграла II рода. Физический смысл криволинейного интеграла II рода. Криволинейный интеграл по замкнутому контуру. Условие Грина.

19. Потенциал поля. Формула Грина.

20. Поверхностный интеграл I рода (по площади поверхности).

21. Приложения поверхностного интеграла I рода

22. Поверхностный интеграл II рода (по координатам).

23. Связь поверхностных интегралов I и II рода. Поток векторного поля через поверхность.

24. Скалярные и векторные поля. Линии и поверхности уровня. Векторные линии.

25. Градиент, дивергенция и ротор. Их физический смысл.

26. Операторы Гамильтона и Лапласа и их применение к скалярным и векторным полям.

27. Поток векторного поля. Физический смысл потока. Теорема Остроградского-Гаусса.

28. Циркуляция векторного поля. Теорема Стокса.

29. Связь формул Грина, Стокса, Остроградского-Гаусса и формулы Ньютона-Лейбница.

30. Потенциальные и соленоидальные поля.

Дифференциальные уравнения

1. Комплексные числа. Определение и алгебраические операции над комплексными числами: сложение, вычитание, умножение и деление.

Комплексным числом называется выражение вида a + ib, где a и b – любые действительные числа, i – специальное число, которое называется мнимой единицей. Для таких выражений понятия равенства и операции сложения и умножения вводятся следующим образом: 1. Два комплексных числа a + ib и c + id называются равными тогда и только тогда, когда a = c и b = d. 2. Суммой двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число a + c + i (b + d). 3. Произведением двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число ac – bd + i (ad + bc). 4.

Комплексные числа часто обозначают одной буквой, например, z = a + ib. Действительное число a называется действительной частью комплексного числа z, действительная часть обозначается a = Re z. Действительное число b называется мнимой частью комплексного числа z, мнимая часть обозначается b = Im z. Такие названия выбраны в связи со следующими особыми свойствами комплексных чисел.

Заметим, что арифметические операции над комплексными числами вида z = a + i · 0 осуществляются точно так же, как и над действительными числами. Действительно,

Следовательно, комплексные числа вида a + i · 0 естественно отождествляются с действительными числами. Из-за этого комплексные числа такого вида и называют просто действительными. Итак, множество действительных чисел содержится в множестве комплексных чисел. Множество комплексных чисел обозначается . Мы установили, что , а именно

В отличие от действительных чисел, числа вида 0 + ib называются чисто мнимыми. Часто просто пишут bi, например, 0 + i 3 = 3 i. Чисто мнимое число i 1 = 1 i = i обладает удивительным свойством:

Таким образом,

С учётом этого замечательного соотношения легко получаются формулы сложения и умножения для комплексных чисел. Нет нужды запоминать сложную формулу для произведения комплексных чисел – если на комплексные числа смотреть как на многочлены с учётом равенства то и перемножать эти числа можно как многочлены. В самом деле,

то есть как раз получается нужная формула.