Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Распространим определения числовых характеристик дискретных величин на величины непрерывные. Начнем с математического ожидания.

Пусть непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения f (x). Допустим, что все возможные значения X принадлежат отрезку [ а, b ]. Разобьем этот отрезок на п частичных отрезков длиной , ,..., и выберем в каждом из них произвольную точку x_i (i = 1, 2,..., п). Нам надо определить математическое ожидание непрерывной величины по аналогии с дискретной; составим сумму произведений возможных значений x_i на вероятности попадания их в интервал ; (напомним, что произведение f (х) приближенно равно вероятности попадания X в интервал ):

Перейдя к пределу при стремлении к нулю длины наибольшего из частичных отрезков, получим определенный интеграл

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины- X, Возможные значения которой принадлежат отрезку [ a,b ], называют определенный интеграл

M (X) = (*)

Если возможные значения принадлежат всей оси Ох, то

M (X) =

Предполагается, что несобственный интеграл сходится абсолютно, т. е. существует интеграл Если бы это требование не выполнялось, то значение интеграла зависело бы от скорости стремления (в отдельности) нижнего предела к — , а верхнего—к + .

По аналогии с дисперсией дискретной величины определяется и дисперсия непрерывной величины.

Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения.

Если возможные значения X принадлежат отрезку[ a,b ], то

D (X) =

если возможные значения принадлежат всей оси х, то

D (X) =

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется, как и для величины дискретной, равенством

(X) = .