Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины

На первый взгляд может показаться, что для задания дискретной случайной величины достаточно перечислить все ее возможные значения. В действительности этоне так: случайные величины могут иметь одинаковые перечни возможных значений, а вероятности их — различные. Поэтому для задания дискретной случайной величины недостаточно перечислить все возможные ее значения, нужно еще указать их вероятности.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая — их вероятности:

Приняв во внимание, что в одном испытании случайная величина принимает одно и только одно возможное значение, заключаем, что события X = х ₁, X = х ₂,..., X = х_п образуют полную группу; следовательно, сумма вероятностей этих событий, т. е. сумма вероятностей второй строки таблицы, равна единице:

p ₁ +p ₂ + …+p_n= 1.

Если множество возможных значений X бесконечно (счетно), то ряд p ₁ +p ₂ + … сходится и его сумма равна единице.

Пример. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 50 руб. и десять выигрышей по 1 руб. Найти закон распределения случайной величины X — стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

Решение. Напишем возможные значения X: x ₁ = 50, x ₂ = 1, x ₃ = 0. Вероятности этих возможных значений таковы: p ₁ = 0, 01, p ₂ = 0, 01 ,p ₃ = 1 - (p ₁ +p ₂) = 0, 89.

Напишем искомый закон распределения:

Контроль: 0,01+0,1+0,89=1.

Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить и графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки (x_i pi), а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.