Математическое ожидание дискретной случайной величины

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Пусть случайная величина X может принимать только значения х ₁, х ₂,..., х_п, вероятности которых соответственно равны р _1, р ₂,..., р_п. Тогда математическое ожидание М (X) случайной величины X определяется равенством

М (X) = х ₁ р ₁ + х ₂ р ₂ + … + x_np_n.

Если дискретная случайная величина X принимает счетное множество возможных значений, то

М (Х) =

причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

М (С) = С.

Доказательство. Будем рассматривать постоянную С как дискретную случайную величину, которая имеет одно возможное значение С и принимает его с вероятностью р = 1. Следовательно,

М (С) = С* 1 = С.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

Доказательство. Пусть случайная величина X задана законом распределения вероятностей:

X	x 1	x 2	…	xn
p	p 1	p 2	…	pn

Учитывая замечание1, напишем закон распределения случайной величины CX:

CX	Cx 1	Cx 2	…	Cxn
p	P 1	P 2	…	pn

Математическое ожидание случайной величины СХ:

M (CX) = Cx ₁ p ₁ + Cx ₂ p ₂ +...+Cx_np_n = С (х ₁ р ₁ + x ₂ p_z +... + х_пр_п) = СМ (X).

Итак,

М (СХ) =СМ (Х).

Свойство 3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

M (XY) = M (X) M (Y).

Доказательство. Пусть независимые случайные величины X и Y заданы своими законами распределения вероятностей (Для упрощения выкладок мы ограничимся малым числом возможных значений. В общем случае доказательство аналогичное):

X	x 1 x 2	Y	y 1 y 2
P	p 1 p 2	g	g 1 g 2

Составим все значения, которые может принимать случайная величина XY. Для этого перемножим все возможные значения X на каждое возможное значение Y; в итоге получим х ₁ у ₁, х ₂ у ₁, х ₁ у ₂ и х ₂ у ₂. Учитывая замечание 3, напишем закон распределения XY, предполагая для простоты, что все возможные значения произведения различны (если это не так, то доказательство проводится аналогично):

XY	х 1 у 1	х 2 у 1	х 1 у 2	х 2 у 2
p	p 1 g 1	p 2 g 1	p 1 g 2	p 2 g 2

Математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений на их вероятности:

М (XY) = х ₁ у ₁ * p ₁ g ₁ + х ₂ у ₁ * p ₂ g ₁ + х ₁ у ₂ * p ₁ g ₂ + х ₂ у ₂ * p ₂ g ₂

или

М (XY) = y ₁ g ₁ (х ₁ р ₁ + x ₂ p ₂) + y ₂ g ₂ (x ₁ p ₁ + x ₂ p ₂) = (x ₁ p ₁ + x ₂ p ₂)(y ₁ g ₁ + y ₂ g ₂) = M (X) *M (Y)

Итак, M (XY) = M (X) *M (Y).

Следствие. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Например, для трех случайных величин имеем:

М (XYZ) = М (XY*Z) = M (XY) M (Z) = M (X) М (Y) M `.

Для произвольного числа случайных величин доказательство проводится методом математической индукции.

Следующее ниже свойство справедливо как для независимых, так и для зависимых случайных величин.

Свойство 4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

М (X + Y) = М (X) + М (Y).

Доказательство. Пусть случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения (Чтобы упростить вывод, мы ограничились лишь двумя возможными значениями каждой из величин. В общем случае доказательство аналогичное):

X	x 1	x 2	Y	y 1	y 2
P	p 1	p 2	g	g 1	g 2

Составим все возможные значения величины Х + Y. Для этого к каждому возможному значению X прибавим каждое возможное значение Y; получим х ₁ +у ₁, х ₁ + у ₂, х ₂ +у ₁, х ₂ + у ₂, Предположим для простоты, что эти возможные значения различны (если это не так, то доказательство проводится аналогично), и обозначим их вероятности соответственно через р ₁₁, р ₁₂, р ₂₁ и р ₂₂.

Математическое ожидание величины Х + Y равно сумме произведений возможных значений на их вероятности:

M (X+Y) = (х ₁ +у ₁) р ₁₁ + (х ₁ + у ₂) р ₁₂ + (х ₂ +у ₁) р ₂₁ + (х ₂ + у ₂) р ₂₂,

или

M (X + Y) =x ₁ (р ₁₁ + р ₁₂) + х ₂ (р ₂₁ + р ₂₂) + у ₁ (р ₁₁ + р ₂₁) + у ₂ (р ₁₂ + р ₂₂). (*)

Докажем, что р ₁₁ + р ₁₂ = p ₁. Событие, состоящее в том, что X примет значение х ₁ (вероятность этого события равна р ₁), влечет за собой событие, которое состоит в том, что X+Y примет значение x ₁ +y ₁ или х ₂ + у ₂ (вероятность этого события по теореме сложения равна р ₁₁ + р ₁₂) и обратно. Отсюда и следует, что р ₁₁ + р ₁₂ = p ₁. Аналогично доказываются равенства

р ₂₁ + р ₂₂ =p ₂, р ₁₁ + р ₂₁ =g ₁ и р ₁₂ + р ₂₂ =g ₂.

Подставляя правые части этих равенств в соотношение (*), получим

M (X+Y) = (x ₁ p ₁ + х ₂ р ₂) + (y ₁ g ₁ +y ₂ g ₂),

или окончательно

М (X + Y) = М (X) + М (Y).

Следствие. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.

Например, для трех слагаемых величин имеем

M (X+Y+Z) =M [(X+Y) +Z ] = М (X + Y) + M (Z) = М (X) + М (Y) + М (Z).

Для произвольного числа слагаемых величин доказательство проводится методом математической индукции.

16 Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D (X) = M [ X — M (X)]²

Пусть случайная величина задана законом распределения

X	x 1	x 2	…	xn
p	p 1	p 2	…	pn

Тогда квадрат отклонения имеет следующий закон распределения:

[ X-M (X)]2	[ x 1 -M (X)]2	[ x 2 -M (X)]2	…	[ xn-M (X)]2
p	p 1	p 2	…	pn

По определению дисперсии,

D (X) = M [ Х — М (X)]² = [ x_i-M (X)]² p_l + [ x ₂ -M (X)]² р ₂ +... + [ х_п-М (Х)]² р_п.

Таким образом, для того чтобы найти дисперсию, достаточно вычислить сумму произведений возможных значений квадрата отклонения на их вероятности.

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом ее математического ожидания:

D (X) = М (X ²) — [ M (X)]².

Доказательство. Математическое ожидание М (X) есть постоянная величина, следовательно, 2 М (X) и М ² (X) есть также постоянные величины. Приняв это во внимание и пользуясь свойствами математического ожидания (постоянный множитель, можно вынести за знак математического ожидания, математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых), упростим формулу, выражающую определение дисперсии:

D (X) = М [ Х — М (X)]² = М [ Х ² - 2 ХМ (X) + М ² (Х)]=

= М (X ²) — 2 М (X) М (X) + М ² (X) = М (X ²) — 2 М ² (X) + М ² (X) =

М (X ²) —M ² (X).

Итак,

D (X) =M (X ²) — [ М (Х)]².

Квадратная скобка введена в запись формулы для удобства ее запоминания.

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю:

D (С) = 0.

Доказательство. По определению дисперсии,

D (C) =M {[ C-M (C)]²}.

Пользуясь первым свойством математического ожидания (математическое ожидание постоянной равно самой постоянной), получим

D (С) = М [(С—С)²] = М (0) = 0.

Итак,

D (С) = 0.

Свойство становится ясным, если учесть, что постоянная величина сохраняет одно и то же значение и рассеяния, конечно, не имеет.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

D (CX) =C ² D (X).

Доказательство. По определению дисперсии имеем

D (СХ) = М {[ СХ — М (СХ)]²}.

Пользуясь вторым свойством математического ожидания (постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания), получим

D (СХ) = М {[ СХ—СМ (X)]²} = М {С² [ X — М (X)]²} =

= С ² М {[ Х — М (X)]²} = C ² D (X).

Итак,

D (CX) = C ² D (X).

Свойство становится ясным, если принять во внимание, что при | С | > 1 величина СХ имеет возможные значения (по абсолютной величине), большие, чем величина X. Отсюда следует, что эти значения рассеяны вокруг математического ожидания М (СХ) больше, чем возможные значения X вокруг М (Х), т. е. D (CX) >D (X). Напротив, если 0 < | С | < 1, то D (СХ) < D (X).

Свойство 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

D (X + Y) = D (X) + D (Y).

Доказательство. По формуле для вычисления дисперсии имеем

D (X + Y) = М [(X + Y)²] — [ М (X + Y)]².

Раскрыв скобки и пользуясь свойствами математического ожидания суммы нескольких величин и произведения двух независимых случайных величин, получим

D (X + Y) = М [ X ² + 2 ХY + Y ²] — [ M (X) + М (Y)]² =

= М (X ²) + 2 М (X) • М (Y) + М (Y ²) — М ² (X) — 2 М (X) • М (Y) — M ² (Y) = { М (X ²) — [ М (X)]²} +{ M (Y ²) - [ M (Y)]²} =D (X) +D (Y).

Итак,

D (X + Y) = D (X) +D (Y).

Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Например, для трех слагаемых имеем

D (X+Y+Z) =D [ X+ (Y+Z)] =D (X) +D (Y+Z) =D (X) +D (Y) +D (Z).

Для произвольного числа слагаемых доказательство проводится методом математической индукции.

Следствие 2. Дисперсия суммы постоянной величины и случайной равна дисперсии случайной величины:

D (C+X) =D (X).

Доказательство. Величины С и X независимы, поэтому, по третьему свойству,

D (C+X) =D (C) +D (X).

В силу первого свойства D (С) = 0. Следовательно,

D (C+X) =D (X).

Свойство становится понятным, если учесть, что величины X и X+С отличаются лишь началом отсчета и, значит, рассеяны вокруг своих математических ожиданий одинаково.

Свойство 4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

D (X-Y) =D (X) +D (Y).

Доказательство. В силу третьего свойства

D (X-Y) =D (X) +D (-Y).

По второму свойству,

D (X—Y) = D (X) + (- 1²) D (Y),

или

D (X — Y) = D (X) +D (Y).

17 Функцией распределения называют функцию F (x), определяющую вероятность того, что случайная величина X в результате испытания примет значение, меньшее х, т. е.

F (x) =P (X < х).

Геометрически это равенство можно истолковать так: F (х) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.