Вычисление вероятности заданного отклонения

Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины X по абсолютной величине меньше заданного положительного числа , т. е. требуется найти вероятность осуществления неравенства | Х — а |<.

Заменим это неравенство равносильным ему двойным неравенством

—  <Х — а <, или а —  < X<a+ 

Пользуясь формулой (*) (см. § 5), получим

Приняв во внимание равенство

Ф(— /  ) = —Ф( /)

(функция Лапласа — нечетная), окончательно имеем

Р (| X — а |< ) = 2Ф ( /).

В частности, при а = 0

Р (| X |< ) = 2Ф ( /).

На рис. 9 наглядно показано, что если две случайные величины нормально распределены и а= О, то вероятность принять значение, принадлежащее интервалу (—,), больше у той величины, которая имеет меньшее значение . Этот факт полностью соответствует вероятностному смыслу параметра  ( есть среднее квадратическое отклонение; оно характеризует рассеяние случайной величины вокруг ее математического ожидания).

Замечание. Очевидно, события, состоящие в осуществлении неравенств | X — а |< и | Х—а | , — противоположные. Поэтому, если вероятность осуществления неравенства | X — а| <  равна р, то вероятность неравенства | Х—а |  равна 1— р.

Пример. Случайная величина X распределена нормально. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение X соответственно равны 20 и 10. Найти вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше трех.

Решение. Воспользуемся формулой

Р (| X — а |< ) = 2Ф ( /).

По условию, = 3, а =20, =10. Следовательно,

Р (| X —20 | < 3) = 2Ф (3/10) =2Ф (0,3).

По таблице приложения 2 находим Ф (0,3) =0,1179. Искомая вероятность

Р (| X—20| < 3) = 0,2358.