Свойства функции распределения

Свойство 1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [О, 1]:

0 F (х) 1.

Доказательство. Свойство вытекает из определения функции распределения как вероятности: вероятность всегда есть неотрицательное число, не превышающее единицы.

Свойство 2. F (х)— неубывающая функция, т. е.

F (x ₂) F (х ₁), если х ₂ > х ₁.

Доказательство. Пусть х ₂ > х ₁. Событие, состоящее в том, что X примет значение, меньшее х ₂, можно подразделить на следующие два несовместных события: 1) X примет значение, меньшее х ₁, с вероятностью Р (X < x ₁); 2) X примет значение, удовлетворяющее неравенству x ₁ X x ₂, с вероятностью Р (x ₁ X x ₂). По теореме сложения имеем

Р (X < х ₂) = Р (X < х ₁) + Р (x ₁ X x ₂).

Отсюда

Р (X < х ₂) - Р (X < х ₁) = Р (x ₁ X x ₂),

или

F (x ₂) —F (x ₁) = Р (x ₁ X x ₂). (*)

Так как любая вероятность есть число неотрицательное, то F (x ₂) — F (x ₁) 0, или F (x ₂) F (x ₁), что и требовалось доказать.

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (а, b), равна приращению функции распределения на этом интервале:

P (a X<b) =F (b) —F (a). (**)

Это важное следствие вытекает из формулы (*), если положить х ₂ =b и х ₁ = а.

Пример. Случайная величина X задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания X примет знамение, принадлежащее интервалу (0, 2):

Р (0 X 2) =F (2) -F (0).

Решение. Так как на интервале (0, 2), по условию,

F (x) = x/ 4 + 1 / 4,

то

F (2) — F (0) = (2 / 4 + 1 / 4) - (0 / 4 + 1 / 4) = 1 / 2.

Игак,

Р (0 < X < 2) = 1 / 2.

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет одно определенное значение, равна нулю.

Действительно, положив в формуле (**) а = х ₁, b = х ₁ + , имеем

P (х ₁ X<х ₁ + ) =F (х ₁ + ) -F (х ₁).

Устремим к нулю. Так как X — непрерывная случайная величина, то функция F (х) непрерывна. В силу непрерывности F (х) в точке х ₁ разность F (х ₁ + )— F (x ₁) также стремится к нулю; следовательно, Р (X = х ₁) = 0. Используя это положение, легко убедиться в справедливости равенств

Р (а X < b) = Р (а < X < b) = Р (а<Х b) = Р (а Х b). (***)

Например, равенство Р (а<Х b) = Р (а < X < b) доказывается так:

Р (а<Х b) = Р (а < X < b) +P (X=b) = Р (а<Х<b).

Таким образом, не представляет интереса говорить о вероятности того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение, но имеет смысл рассматривать вероятность попадания ее в интервал, пусть даже сколь угодно малый. Этот факт полностью соответствует требованиям практических задач. Например, интересуются вероятностью того, что размеры деталей не выходят за дозволенные границы, но не ставят вопроса о вероятности их совпадения с проектным размером.

Заметим, что было бы неправильным думать, что равенство нулю вероятности Р (X = х ₁) означает, что событие Х=х ₁ невозможно (если, конечно, не ограничиваться классическим определением вероятности). Действительно, в результате испытания случайная величина обязательно примет одно из возможных значений; в частности, это значение может оказаться равным х ₁.

Свойство 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а, b), то: 1) F (x) = 0 при х а; 2) F (x) = 1 при х b.

Доказательство. 1) Пусть x ₁ a. Тогда событие X < х ₁ невозможно (так как значений, меньших х ₁, величина X по условию не принимает) и, следовательно, вероятность его равна нулю.

2) Пусть х ₂ b. Тогда событие X < х ₂ достоверно (так как все возможные значения X меньше х ₂) и, следовательно, вероятность его равна единице.

Следствие. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси х, то справедливы следующие предельные соотношения:

Замечание. График функции распределения дискретной случайной величины имеет ступенчатый вид. Убедимся в этом на примере.

Пример. Дискретная случайная величина X задана таблицей распределения

X
p	0, 3	0, 1	0, 6

Найти функцию распределения и вычертить ее график.

Решение. Если х 1, то F (x) = 0 (третье свойство). Если 1 < х 4, то F (х)=0,3. Действительно, X может принять значение 1 с вероятностью 0,3.

Если 4 < х 8, то F (х) = 0,4. Действительно, если х ₁ удовлетворяет неравенству 4 < x ₁ 8, то F (x ₁) равно вероятности события X < х ₁, которое может быть осуществлено, когда X примет значение 1 (вероятность этого события равна 0,3) или значение 4 (вероятность этого события равна 0,1). Поскольку эти два события несовместны, то по теореме сложения вероятность события X < х ₁ равна сумме вероятностей 0,3 + 0,1=0,4.

Если х > 8, то F (x) = 1. Действительно, событие Х 8 достоверно, следовательно, его вероятность равна единице.

Итак, функция распределения аналитически может быть записана так:

График этой функции приведен на рис. 3.

18 Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины X называют функцию f (х)— первую производную от функции распределения F (х):

f (х) = F' (х).

Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения.

Заметим, что для описания распределения вероятностей дискретной случайной величины плотность распределения неприменима.