Нормальное распределение. Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью

Мы видим, что нормальное распределение определяется двумя параметрами: а и . Достаточно знать эти параметры, чтобы задать нормальное распределение. Покажем, что вероятностный смысл этих параметров таков: а есть математическое ожидание, —среднее квадратическое отклонение нормального распределения.

а) По определению математического ожидания непрерывной случайной величины,

M (X) =

Введем новую переменную z = (x — а) / . Отсюда x=  z+a, dx=  dz. Приняв во внимание, что новые пределы интегрирования равны старым, получим

M (X) =

Первое из слагаемых равно нулю (под знаком интеграла нечетная функция; пределы интегрирования симметричны относительно начала координат). Второе из слагаемых равно a (интеграл Пуассона ).

Итак, М (Х) = а, т. е. математическое ожидание нормального распределения равно параметру а.

б) По определению дисперсии непрерывной случайной величины, учитывая, что М (Х) = а, имеем

D (X) =

Введем новую переменную z = (x — а) / . Отсюда х — a =  z, dx =  dz. Приняв во внимание, что новые пределы интегрирования равны старым, получим

D (X) =

Интегрируя по частям, положив u = z, dv= , найдем

D (X) = ^

Следовательно,

(X) = .

Итак, среднее квадратическое отклонение нормального распределения равно параметру .

График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса). Исследуем функцию

y=

методами дифференциального исчисления.

1. Очевидно, функция определена на всей оси х.

2. При всех значениях х функция принимает положительные значения, т. е. нормальная кривая расположена над осью Ох.

3. Предел функции при неограниченном возрастании х (по абсолютной величине) равен нулю: , т. е. ось Ох служит горизонтальной асимптотой графика.

4.Исследуем функцию на экстремум. Найдем первую производную:

Легко видеть, что у' = 0 при х = а, у' > 0 при х < а, у' < 0 при х> а.

Следовательно, при х = а функция имеет максимум, равный

5.Разность х — а содержится в аналитическом выражении функции в

квадрате, т. е. график функции симметричен относительно прямой х= а.

6.Исследуем функцию на точки перегиба. Найдем вторую производную:

Легко видеть, что при х = а+ и х= а —  вторая производная равна нулю, а при переходе через эти точки онаменяет знак (в обеих этих точках значение функции равно 1 / ( e)). Таким образом, точки графика (а — , 1 / ( e)) и (а + , 1 / ( e)) являются точками перегиба.

На рис. 7 изображена нормальная кривая при а =1 , 2