![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью
Мы видим, что нормальное распределение определяется двумя параметрами: а и . Достаточно знать эти параметры, чтобы задать нормальное распределение. Покажем, что вероятностный смысл этих параметров таков: а есть математическое ожидание, —среднее квадратическое отклонение нормального распределения.
а) По определению математического ожидания непрерывной случайной величины,
M (X) =
Введем новую переменную z = (x — а) / . Отсюда x= z+a, dx= dz. Приняв во внимание, что новые пределы интегрирования равны старым, получим
M (X) =
Первое из слагаемых равно нулю (под знаком интеграла нечетная функция; пределы интегрирования симметричны относительно начала координат). Второе из слагаемых равно a (интеграл Пуассона ).
Итак, М (Х) = а, т. е. математическое ожидание нормального распределения равно параметру а.
б) По определению дисперсии непрерывной случайной величины, учитывая, что М (Х) = а, имеем
D (X) =
Введем новую переменную z = (x — а) / . Отсюда х — a = z, dx = dz. Приняв во внимание, что новые пределы интегрирования равны старым, получим
D (X) =
Интегрируя по частям, положив u = z, dv= , найдем
D (X) =
Следовательно,
(X) = .
Итак, среднее квадратическое отклонение нормального распределения равно параметру .
График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса). Исследуем функцию
y=
методами дифференциального исчисления.
1. Очевидно, функция определена на всей оси х.
2. При всех значениях х функция принимает положительные значения, т. е. нормальная кривая расположена над осью Ох.
3. Предел функции при неограниченном возрастании х (по абсолютной величине) равен нулю: , т. е. ось Ох служит горизонтальной асимптотой графика.
4.Исследуем функцию на экстремум. Найдем первую производную:
Легко видеть, что у' = 0 при х = а, у' > 0 при х < а, у' < 0 при х> а.
Следовательно, при х = а функция имеет максимум, равный
5.Разность х — а содержится в аналитическом выражении функции в
квадрате, т. е. график функции симметричен относительно прямой х= а.
6.Исследуем функцию на точки перегиба. Найдем вторую производную:
Легко видеть, что при х = а+ и х= а — вторая производная равна нулю, а при переходе через эти точки онаменяет знак (в обеих этих точках значение функции равно 1 / ( e)). Таким образом, точки графика (а — , 1 / (
e)) и (а + , 1 / (
e)) являются точками перегиба.
На рис. 7 изображена нормальная кривая при а =1 , 2
Дата публикования: 2015-01-25; Прочитано: 269 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!