Дискретная двухточечная краевая задача. Аппроксимация и сходимость разностной схемы

Двухточечная краевая задача- это задача отыскания решения обыкновенного дифференциального уравнения или системы обыкновенных дифференциальных уравнений на отрезке , в которой дополнительные условия накладываются в двух точках a и b- краях отрезка.

Смысл построения разностной схемы заключается в дискретизации краевой задачи, т.е. замене области непрерывного изменения аргумента сеткой- конечным набором точек.

-в результате дифференциальное уравнение оказалось его дискретным аналогом – разностным уравнением.

Обозначим: ,запишем систему сеточных ур-ий в следующем виде:

(1)

(2)-эту дискретную задачу принято называть разностной схемой.

Аппроксимация: Пусть -решение дифференциального уравнения . Назовем сеточную функцию - погрешностью аппроксимации разностного уравнения (1),справедливо равенство , означающее, что функция удовлетворяет разностному уравнению(1) с точностью до погрешности аппроксимации. Говорят, что разностное уравнение (1) аппроксимирует дифференциальное уравнение , если при , и аппроксимирует его с m-м порядком, если справедлива оценка

Лемма

Пусть коэф. q и f дважды непрерывно дифференцируемы на отрезке . Тогда разностное уравнение аппроксимирует дифференциальное уравнение со вторым порядком, причем справедлива оценка (2),

Док-во: В силу определения погрешности аппроксимации имеем ,где -погрешность аппроксимации производной ее разностным аналогом.

Сходимость: Пусть -решение краевой задачи, а -решение соответствующей разностной схемы. Назовем погрешностью разностной схемы сеточную функцию , принимающую значения в узлах сетки. Будем говорить, что разностная схема сходится при , если при , и сходится с m -м порядком точности, если для погрешности справедлива оценка .