Устойчивость численных методов. Понятие нуль-устойчивости

Примем дискретное решение: , где - решение дискретной задачи при , а - решение дискретной задачи при . При этом зададим фиксированный шаг h, известен отрезок , на котором ищется решение, а погрешность (), то погрешность значение можно оценить:

-обусловленность метода, от Т и h.

Нуль устойчивость:

Сразу заметим, что коэффициент может неограниченно возрастать при , а уменьшение шага h приведет не к уточнению решения, а, наоборот, к неограниченному росту погрешности.

Таким образом примем: , где не зависит от h.

Методы, для которых неравенство будет выполняться, когда решается задача Коши для однородного уравнения , будем называть нуль-устойчивыми.

Чтобы отбросить те из методов, которые заведомо не обладают свойством нуль-устойчивости, применим дискретный метод к решению задачи Коши для уравнения . Тогда : , при ,будем называть их линейными однородными разностными уравнениями k-го порядка с постоянными коэффициентами. Пусть решение того же уравнения, тогда в силу линейности уравнения погрешности : (1)

Заменив и сократив на общий множитель получим: -характеристическое уравнение, которое должна удовлетворять величина q.

Пусть q-корень ранее записанного уравнения, тогда сеточная функция является решением разностного уравнения (1). Запишем структуру общего решения разностного уравнения: -корни характеристического уравнения, -их кратности(), тогда:

Если -не кратные:

Будем говорить, что выполнено корневое условие, если все корни характеристического уравнения лежат внутри или на границе единичного круга комплексной плоскости(т.е. ), причем на границе единичного круга нет кратных корней.

Теорема: Для того чтобы метод обладал нуль-устойчивостью, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось корневое условие.

Замечание1: Для дискретного метода q=1, всегда является корнем характеристического уравнения.

Замечание2: Всегда нуль-устойчивы: все методы Рунге-Кутты и Адамса.