Аппроксимация, устойчивость и сходимость явных методов решения задачи Коши

Определение: Будем называть аппроксимацией сеточную ф-цию ,кот. равна разности между левой и правой частью метода на точном решении задачи. Оценим погрешность аппроксимации для м.Эйлера . Порядок аппрок-ции м.Эйлера – первый. Устойчивость диф-ной задачи:(1) -нач.условие, f(t,y(t)) – пр. часть. Воз-щеная задача: (2) Вычтем из (1) (2), введм ф-цию

. (3) ур-е лин. Неодн.: (4) Ф-ла (4) харак-ет ф-цию ошибки - погрешность вычисления правой части. <0 , то задача является устойчивой

Определение: Численный метод наз-ся устойчивым если выполянется следующее неравенство

Сходимость: Пусть y(t) – решение задачи Коши. Назовем глобальной погрешностью численного метода сеточную ф-цию со значениями в узлах . В качестве меры абсолютно погрешности метода примем величину E(h)= Численный метод задачи Коши называется сходящимся, если для него E(h)->0 при h->0. Принято говорить, что метод сходится с Р-м порядком точности, если для погрешности справедлива оценка E(h) ,p>0.Теорема: Пусть численный метод устойчив на конечном отрезке и имеет порядок аппроксимации, равный р. Тогда если начальные значения заданы с р-м порядком точности, то и метод сходится с р-м порядком точности.