![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Методы решения задачи Коши можно использовать и для систем ур-ний первого порядка, причем форма из записи претерпевает минимальный изменения. Следует лишь изменить в расчетных формулах числа на векторы
, ф-цию f- на вектор ф-цию f и т.д. В результате дискретное ур-ние
преобразуется в систему дискретных ур-ний. Например, расчетная формула метода Эйлера
к решению системы y’(t)=f(t,y(t)) принимает в покоординатной форме записи вид:
Аналогично, м.Рунге-Кутты 4го порядка точности пораждает для СДУ 1го порядка следующий метод:
,
Теорема 1. Пусть вектор ф-ция f(t,y) определена и непрерывна в слое Пт. Предположим также, что она удовлетворяет условию Липшица
для всех
и произвольных
где L>0 – некоторая постоянная (постоянная Липшица). Тогда для каждого начального значения
сущ-ет единств. Решение y(t) задачи Коши
определенное на отрезке [t0,T] Теорема 2: Пусть выполнены условия теоремы 1. Далее песть y(t) – решение задачи
а y*(t) – решение задачи
Тогда справедлива оценка
выражающая устойчивость на конечном отрезке [t0,T] решения задачи Коши по начальным значениям и правой части. Здесь
. Теория численных методо решения задачи Коши для систем дифф. ур-ний имеет много общего с соответствующей теорией решения задачи Коши для одного дифф. ур-ния. В частности справедливы аналогии всех изложенных в билете № 14 результатов касающихся устойчивости и сходимости дискретных методов на конечном отрезке.Но системы ОДУ имеют новый эффект –Жесткость. Несмотря на медленное изменении искомых ф-ций расчет приходится вести с неоправданно мелким шагом h. Все попытки увеличить шаг и тем самым уменьшить время решения задачи приводят лишь к катастрофически большому росту погрешности. Обладающие таким свойством задачи получили название жестких.
Дата публикования: 2015-01-24; Прочитано: 314 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!