Решение задачи Коши для систем дифференциальных уравнений

Методы решения задачи Коши можно использовать и для систем ур-ний первого порядка, причем форма из записи претерпевает минимальный изменения. Следует лишь изменить в расчетных формулах числа на векторы , ф-цию f- на вектор ф-цию f и т.д. В результате дискретное ур-ние преобразуется в систему дискретных ур-ний. Например, расчетная формула метода Эйлера к решению системы y’(t)=f(t,y(t)) принимает в покоординатной форме записи вид: Аналогично, м.Рунге-Кутты 4го порядка точности пораждает для СДУ 1го порядка следующий метод: , Теорема 1. Пусть вектор ф-ция f(t,y) определена и непрерывна в слое Пт. Предположим также, что она удовлетворяет условию Липшица для всех и произвольных где L>0 – некоторая постоянная (постоянная Липшица). Тогда для каждого начального значения сущ-ет единств. Решение y(t) задачи Коши определенное на отрезке [t0,T] Теорема 2: Пусть выполнены условия теоремы 1. Далее песть y(t) – решение задачи а y*(t) – решение задачи Тогда справедлива оценка выражающая устойчивость на конечном отрезке [t0,T] решения задачи Коши по начальным значениям и правой части. Здесь . Теория численных методо решения задачи Коши для систем дифф. ур-ний имеет много общего с соответствующей теорией решения задачи Коши для одного дифф. ур-ния. В частности справедливы аналогии всех изложенных в билете № 14 результатов касающихся устойчивости и сходимости дискретных методов на конечном отрезке.Но системы ОДУ имеют новый эффект –Жесткость. Несмотря на медленное изменении искомых ф-ций расчет приходится вести с неоправданно мелким шагом h. Все попытки увеличить шаг и тем самым уменьшить время решения задачи приводят лишь к катастрофически большому росту погрешности. Обладающие таким свойством задачи получили название жестких.