Устойчивость численных методов. Понятие абсолютной устойчивости

Дискретные методы решения задачи Коши: (1)

Пусть -решение дискретной задачи, соответствующее начальным значениям , а - решение той же задачи, соответствующее начальным значениям .Если погрешности задания начальных данных достаточно малы, то погрешность значения можно оценить следующим образом: , величина К играет роль числа обусловленности метода.

Значит.часть заведомо непригодных для решения задачи коши на больших временных отрезках методов можно исключить, исследуя результат их применения к реш. модельной задачи:

,

Большинство дискретных методов становятся линейными и приобретают вид:

Здесь -некот. зависящие от величины функции. В силу линейности ошибка удовлетворяет тому же уравнению

Перепишем в виде: , где ,

Назовем метод (1) абсолютно устойчивым для данного , ежели при этом Z все корни полинома устойчивости лежат в комплексной плоскости внутри единичного круга и на границе этого круга нет кратных корней. Множество D точек комп. Плоскости, состоящие из тех z, для которых метод абс.устойчив, называют областью абсолютной устойчивости метода.

22. Жесткие задачи: понятие о жестких задачах, жесткие системы дифференциальных уравнений. Методы их решения.

Все попытки увеличить шаг и тем самым уменьшить время решения задачи приводят лишь к катастрофически большому росту погрешности. Обладающие этим св-вом задачи получили название жестких.

Рассм. зад. Коши для систем лин.дифф. ур-ий с постоянными коэф.

Все собственные числа матрицы А имеют отрицательные вещественные части. Решение имеет вид

погрешность:

Для медленной компоненты решения временной постоянной является , а для жесткой компоненты погрешности . Их отношение определяет степень жесткости задачи.

Числом жесткости называется величина: ,систему ур-ий назовем жесткой, если для нее

Для решения жестких задач предпочтительны А-устойчивые методы, т.к. они не накладывают никаких ограничений на шаг,но класс таких методов весьма узок. Можно заменить менее ограничительным требованием наличия у метода А()-устойчивости: если область абс.устойчивости метода включает угол . Среди неявных линейных многошаговых методов имеются А()-устойчивые методы высокого порядка точности. Важный класс таких методов (формул дифференцирования назад) относится к так называемым чисто неявным методам. (Например неявный метод Эйлера или алгоритм Гира).