Сходимость метода Эйлера

Теорема(1): Пусть численный метод устойчив на конечно отрезке и имеет порядок аппроксимации, равный р.Тогда если начальное значение значения заданны с р-м порядком точности, то и метод сходится с р-м порядком точности. Док-во: Пусть - погрешность аппроксимации, положим . Равенство позволяет утверждать, что сеточная функция является решением дискретной задачи Коши Устойчивость метода означает выполнение неравенства которое в силу равенств и можно переписать как: Учитывая что

, правую часть неравенства оцениваем величиной . Итак Т.к. метод Эйлера устойчив на конечном отрезке и имеет первый порядок аппроксимации, то из теоремы (1) следует, что он сходится с первым порядком точности. Точнее верна следующая теорема: Пусть ф-ция f удовлетворяет условию .Тогда для метода Эйлера справедлива такая оценка глобальной погрешности: , где ,

Приведем док-во теоремы, не использующее теорему (1). Док-во: Пусть - погрешность аппроксимации. Перепишем ее определение в виде Полагая ,замечаем, что сеточная ф-ция является решением дискретной задачи Коши!!!!! где . Тогда в силу теоремы:(Пусть ф-ция f удовлетворяет условию . Тогда справедливо неравенство означающее,что метод Эйлера устойчив на конечном отрезке.) справедлива оценка Учитывая, что , и используя оценку , где для погрешности аппроксимации, получаем неравенство