Явные одношаговые методы. Локальная и глобальная погрешности. Оценка погрешности по правилу Рунге

В основе построения конкретного численного метода лежит тот или иной способ замены дифф.ур-ния y’=f(t,y) его дискретным аналогом – ур-ем вида (1). При k=1 уравнение упрощается и принимает вид (2)- этот метод называется одношаговым. Вычисление значения осущест-ся здесь с использованием только одного предыдущего значения .Поэтому одношаговые методы часто зовут самостартующими. В случае когда входящая в уравнение (1) функция Ф не зависит от , вычисление значения не вызывает затруднений и осуществляется по явной формуле ,соответствующие методы называют явными. Пусть - значение, найдено из (2), в кот. вместо подставлено точное значение решения дифф. ур-ния в точке t= . Тогда разность называется локальной погрешностью метода. - погрешность, кот. допускают за один шаг метод, стартовавший с точного решения. - погрешность аппроксимации. Пусть y(t) – решение задачи Коши. Назовем глобальной погрешностью численного метода сеточную ф-цию со значениями в узлах . В качестве меры абсолютно погрешности метода примем величину E(h)= Численный метод задачи Коши называется сходящимся, если для него E(h)->0 при h->0. Принято говорить, что метод сходится с Р-м порядком точности, если для погрешности справедлива оценка E(h) ,p>0. Оценка погрешности по правилу Рунге: Уточнение по Рунге: