![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Определение 22. Точка М 0 (x 0, y 0) называется точкой локального максимума (минимума) функции z = f (x, y), если существует δ – окрестность этой точки, такая, что для всех М (x, y) ∈ δ(М 0) выполняется неравенство
f (x 0, y 0) > f (x, y) (f (x 0, y 0) < f (x, y)).
Точки максимума или минимума функции называют точками экстремума функции, а максимумы и минимумы функции – экстремумами функции.
Т е о р е м а 5 (необходимые условия существования экстремума). Если в точке М 0 (x 0, y 0) дифференцируемая функция f (x, y) имеет локальный экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю:
,
или, по крайней мере, одна из них не существует.
Доказательство. Рассмотрим в δ (М 0) лишь те точки, для которых у = у 0. Получим функцию z = f (x, y 0) = φ (х) одной переменной. Эта функция имеет в точке х0 экстремум, следовательно, .
Аналогично доказывается, что .
Точка М 0 (x 0, y 0) – называется стационарной, критической или точкой возможного экстремума.
Следствие. Если функция z = f (x, y) имеет в точке М 0 экстремум, то ее дифференциал в этой точке равен нулю или не существует.
Т е о р е м а 6 (достаточные условия существования экстремума). Стационарная точка М 0 дважды дифференцируемой в ее окрестности функции z = f (x, y) является точкой экстремума, если
.
При этом, если , то точка М 0 – точка максимума, если
, то точка М 0 – точка минимума.
Обозначим . Тогда, если
Если ∆ = B 2 – АС < 0, то в точке М 0 экстремума нет.
Если ∆ = B 2 – АС > 0, тогда точка М 0 является точкой экстремума. Кроме того, если A > 0, то M 0 – точка минимума; если A < 0, то M 0 – точка максимума.
Если ∆ = B 2 – АС = 0, то нельзя определенно ответить на вопрос о существовании экстремума в точке М 0. В этом случае необходимо вести дополнительное исследование поведения знака f ¢ (x, y) в окрестности точки М 0.
Дата публикования: 2015-01-24; Прочитано: 363 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!