Высших порядков. Производные первого порядка являются функциями, следовательно, их можно дифференцировать

Производные первого порядка являются функциями, следовательно, их можно дифференцировать.

Определение 20. Частные производные по х и по у от частных производных первого порядка, если они существуют, называются частными производными второго порядка от функции z = f (x, y) в точке Р (х, у) и обозначаются

–

– (f дифференцируется последовательно два раза по х);

–

– (f дифференцируется сначала по х затем по у);

–

– (f дифференцируется сначала по у затем по х);

–

– (f дифференцируется последовательно два раза по у).

Производные второго порядка можно снова дифференцировать как по х, так и по у. В результате получим восемь частных производных третьего порядка:

и так далее.

Частные производные высших порядков функции z = f (x, y), взятые по различным переменным, называются смешанными производными.

Т е о р е м а 4. Если функция z = f (x, y) и ее частные производные определены и непрерывны в области их определения, то

= .

Определение 21. Дифференциал от дифференциала первого порядка в любой точке Р (х, у), если он существует, называется дифференциалом второго порядка и обозначается

d ² z = d (d z),

Дифференциалы третьего и выше порядков получаются аналогично.