Производные неявных функций

Определение 18. Если функция у = у (х), z = z (x, y), …, v = v (x, y, …, t) заданы уравнениями F (x, y) = 0, Ф (x, y, z) = 0, …, y (x, y, …, t, v) = 0 соответственно, то говорят, что функции y, z, …, v заданы неявно.

Т е о р е м а 3 (о производных неявных функций). Если F (x, y) = 0, то

(1)

Если Ф (x, y, z) = 0, то

(2)

(3)

Геометрическим образом функции двух переменных z = f (x, y) является некоторая поверхность. Выберем на ней точку М ₀ (x ₀, y ₀, z ₀).

Определение 19. Касательной плоскостью к поверхности в данной точке называется плоскость, которая содержит все касательные к кривым, проведенным на поверхности через эту точку.

Если уравнение поверхности задано явно, т.е. z = f (x, y), то уравнение касательной плоскости П, проведенной к данной поверхности в точке М ₀ (x ₀, y ₀) имеет вид:

Рис. 9.

. (4)

Если уравнение поверхности Р задано неявной функцией F (x, y, z) = 0, то

В этом случае уравнение касательной плоскости П к поверхности в точке М ₀ (x ₀, y ₀, z ₀) имеет вид:

(5)

Замечание. Точка, в которой хотя бы одна из производных не существует, называется особой точкой поверхности. В такой точке поверхность может не иметь касательной.

Определение 19. Нормалью к поверхности Р в данной точке М ₀ называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно к касательной плоскости, проведенной в данной точке поверхности.

Согласно условию перпендикулярности прямой и плоскости, уравнение нормали к поверхности z = f (x, y) в точке М ₀ (x ₀, y ₀, z ₀) имеет вид:

Если поверхность Р задана неявно функцией F (x, y, z) = 0, то уравнение нормали примет вид: