Непрерывность функции многих переменных

Определение 8. В случае функции двух переменных х, у δ – окрестностью точки М ₀ (х ₀, у ₀) называется совокупность всех точек, лежащих внутри круга радиуса δ с центром в точке М ₀.

В случае функции трех переменных х, у, z δ – окрестностью точки М ₀ (х ₀, у ₀, z ₀) называется совокупность всех точек, лежащих внутри шара радиуса δ с центром в точке М ₀.

В случае функции п переменных х, у, …, t δ – окрестностью точки М ₀ (х ₀, у ₀, …, t ₀) называется совокупность точек лежащих внутри п – мерного шара радиуса δ с центром в точке М ₀. δ – окрестность точки М ₀ обозначается δ (М ₀)

Определение 9. Число А называется пределом функции U = U (x, y, …, t) в точке М ₀ (х ₀, у ₀, …, t ₀), если

"ε > 0 $ M (x, y, …, t) ∈ δ (М ₀) Þ | U (x, y, …, t) – A | < ε.

При этом пишут

.

Определение 10. Функция U (x, y, …, t) называется непрерывной в точке (х ₀, у ₀, …, t ₀), если она определена в некоторой окрестности этой точки и если бесконечно малым приращениям аргументов ∆ х, ∆ у, …, ∆ t соответствует бесконечно малое приращение функции ∆ U, т. е.

Иначе условие непрерывности функции U можно представить следующим образом

или

Определение 11. Точка (х ₀, у ₀, …, t ₀), в которой не выполняется условие непрерывности функции, называется точкой разрыва функции.

Определение 12. Функция, непрерывная в каждой точке области, называется непрерывной в этой области.