Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление

ГЛАВА 8

Дифференциальное исчисление

функции нескольких переменных

§ 1. Понятие функции нескольких переменных.

Определение 1. Если каждой паре независимых друг от друга переменных х, у из некоторого множества D соответствует определенное значение переменной z, то z называется функцией двух переменных х, у. При этом пишут z = f (x, y) или z = z (x, y).

В прямоугольных декартовых координатах Охуz графиком функции z = f (x, y) обычно служит некоторая поверхность, при этом область D является частью плоскости хОу.

Рис. 1.

Определение 2. Если каждой совокупности значений независимых друг от друга п переменных x, y, …, t из некоторого множества D ставится в соответствие определенное значение переменной U, то U есть функция п переменных x, y, …, t. При этом пишут

U = f (x, y, …, t) или U = U (x, y, …, t).

Замечание. Функция трех и более переменных графического представления не имеет.

Определение 3. Множество D, на котором задана функция многих переменных, называется областью определения или областью существования этой функции.

Определение 4. Область существования D функции U = U (x, y, …, t) называется замкнутой, если она включает в себя свои граничные точки, и – незамкнутой, если функция не определена в граничных точках.

Определение 5. Функция многих переменных называется однозначной, если каждой совокупности значений независимых переменных из области определения соответствует единственное значение функции.