Разложение в ряд Тейлора некоторых функций

Используя последнюю формулу, напишем разложение в ряд Тейлора некоторых наиболее часто встречающихся функций. Рекомендуется запомнить эти разложения:

А. .

Пусть . Имеем

; ; ; …; ;

; ; ; ; .

Ряд Маклорена дает нам

где . Но так как , то и мы имеем оценку

В частности, беря , , получим формулу для вычисления числа

,

где погрешность не превосходит величины .

Б. .

Имеем

; ; ;

; … .

Подставляя , получим

; ; ; ,

и дальше эти значения начинают повторяться. Поэтому ряд Маклорена дает

,

.

Так как , то

.

Окончательно

,

.

В. .

Имеем:

; ; ;

; …, .

Подставляя , получим

; ; ;

и далее эти значения повторяться.

Формула Маклорена дает:

,

.

Так как , то

.

Г. .

Имеем:

; ; ;

; .

Подставляя , получим

; ; ; ; ;

Подстановка в формулу Маклорена дает

.

Д. .

Имеем

; ; ; …

Подставляя , получим

; ; ;

и формула Маклорена дает

.

Заметим, что если (целое число), то этот ряд обрывается на , и получается формула бинома Ньютона. Данная формула может рассматриваться как обобщение формулы бинома Ньютона на случай произвольного вещественного .