Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа

Остаточный член в форме дает лишь качественную оценку . Хотелось бы иметь более точную количественную оценку. Такую оценку часто позволяет получить остаточный член в форме Лагранжа.

Рассмотрим еще раз выражение для

Рассмотрим функцию

Обратите внимание, как строиться выражение для функции : в выражение для вместо ставиться аргумент .

Очевидно, что

,

Далее вычислим

.

Рассмотрим еще функцию . Для нее

; ; .

А теперь воспользуемся формулой Коши

, .

Подставляя сюда соответствующие члены, получим

.

Отсюда получается выражение для остаточного члена :

, .

Эта форма остаточного члена и называется остаточным членом в форме Лагранжа. Ее дальнейшее использование заключается в том, что пытаются оценить сверху , то есть ищут такое , что . Тогда

,

что и позволяет оценивать погрешность от использования формулы Тейлора для вычисления . Сама формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа имеет вид

,

где . В частном случае

.

Эта формула носит название ряда Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа.