Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала производная . При этом

Доказательство

Необходимость. Пусть дифференцируема в точке . Это значит, что

Деля на

и переходя к пределу , получим

.

Достаточность. Пусть в точке существует производная

.

Это, по определению, означает, что

,

где - бесконечно малая величина. Отсюда следует, что

.

Но и поэтому

,

что и требовалось доказать. <